判定问题是数理逻辑中的一个重要问题。它表现为寻求一种能行的方法、一种机械的程序或者算法，从而能够对某类问题中的任何一个在有穷步骤内确定是否具有某一特定的性质。

就命题逻辑的任一公式是不是常真这个问题， 就可以在有穷步内按照一定的程序用真值表判定。如果对某类问题已经获得这种能行的方法，就说明这类问题是可判定的，或者说其判定问题是可解的；如能够证明某类问题不可能存在这样的方法，就说这类问题不是能行可判定的。判定问题有不同的陈述。从语义方面考虑，判定问题是要确定一公式是否常真，亦即是否普遍有效，或者可否满足；在语法方面，它是要确定某一公式是可证，还是可否证。

逻辑系统的判定问题命题逻辑的任一公式是否常真以及是否可证都是能行可判定的。20世纪30年代美国数学家A.丘奇和英国的A.M.图灵分别证明了谓词逻辑的判定问题是不可解的。对谓词逻辑公式可以用前束范式分类，前束范式是一公式，其中一切量词都未被否定地处于公式的最前方，谓词逻辑的每一公式都和一前束范式等值或者可以互推。有些前束范式类是可判定的，例如只含有全称量词的前束范式。1962年A.S.柯尔、E.F.摩尔和美籍华人学者王浩证明了不可判定的谓词逻辑公式都可以归约为凬ヨ凬式。这种不可判定的公式类型被称为归纳类。

在数学系统里，C.H.朗格弗德于1927年证明了自然数的线性序理论的判定问题是可解的。1929年，M.普利斯贝格证明了自然数的加法理论的判定问题是可解的。50年代初，A.塔尔斯基解决了初等几何理论的判定问题。1970年，苏联学者Ю.В.马季亚谢维奇证明了 D.希尔伯特所提出的23个著名数学问题中的第10个问题是不可解的。希尔伯特第10个问题是指寻找一个算法，用它能确定一任给的整系数多项式方程：p(x1，...，xn)=0是否有整数解。结果证明，这样的算法是不存在的。

证明一个理论的判定问题可解，只需给出一个算法，并证明这算法就是所要求的，问题就解决了。要证明一个理论的判定问题是不可解的，首先需要把算法（机械程序）概念精确化，并给出算法概念的严格的数学定义，使一切算法的类成为明确的数学对象，从而能用严格的数学方法证明对某个理论来说不存在解决它的判定问题的算法。判定问题的研究推动了对算法理论或称可计算性理论的研究，促进了递归函数论（见递归论）和图林机器理论的建立。

能行性和可行性从计算复杂性方面对可解的判定问题的研究证明，一些理论虽然原则上是可判定的，但它的判定程序（算法）所需的计算步数太大，以致在实践上是不可行的。例如，就可判定的自然数的加法理论来说，已经证明，对于该理论的每一判定算法，都有长度（即符号数目）为 n的语句（公式），使得依据该算法判定此语句是否可证需要计算 2步（c为>0的常数）。假如取n=10，那末即使使用每秒运算一亿次的高速计算机作判定,也需要很多亿个世纪。一个重要的问题是:是否存在某些可判定的理论。而且其判定方法是快速的,在实践上是可行的。对于这个问题迄今未能作出肯定的或否定的回答。70年代以来，通过研究命题逻辑的判定方法的复杂性，发现了许多已知的组合型的判定问题都可化归为命题逻辑的判定问题，如果能找到判定命题逻辑中的公式是否为重言式的快速算法，则可随之而获得一大批判定问题的快速算法。但迄今这仍是悬案，既未能找到命题逻辑的快速判定算法，也未能证明不存在它的快速判定算法。

逻辑学是一门研究推理与论证、自然语言(人们日常生活所使用的语言)、自然科学与社会科学中的逻辑问题以及思维、科学方法论中有关问题的学科。与数学一样，都是以反映事物的“思想事物”为对象。数理逻辑正是这两门科学发展的共同产物，它是用数学方法研究数学概念与推理、数学证明与计算中的逻辑问题的一个数学分支。它包括逻辑演算(命题演算与谓词演算)、公理化集合论、证明论、递归函数论、模型论和算法理论等。它是离散数学的一个重要组成部分。

数理逻辑从称为公理的命题(相当于判断)出发，利用所规定的一组特定的符号，使得所讨论的复杂逻辑关系，可以用公式很清晰地表示出来。

按照一些特定的演绎规则，可以推导出一系列称为定理的命题，从而构成一个公理系统。在数理逻辑中，讨论演绎推理的结构，和公理系统(特别是数学的公理系统)的性质。

莱布尼兹最早具有数理逻辑的概念，他在1666年提出，可以利用符号来进行数学推理。在1682年，他就为数理逻辑奠定了基础。但是，直到1847年布尔发表《逻辑的数学分析》以后，特别是由于研究数学基础问题的推动，人们为了满足寻求无矛盾性证明等方面的需要，数理逻辑才得到很快的发展。在其中，希尔伯特等人起了重要的作用。20世纪30年代，哥德尔证明了谓词演算的完全性，和算术系统的不完全性等重要结论，使数理逻辑成为一门独立的学科。它对于公理化方法、数学基础及某些数学分支的研究，都具有重要的作用，它还是控制论与计算机科学的基础理论之一。在计算机技术、人工智能、语言学、自动化系统及开关线路中得到广泛的应用，同时它本身也随之得到了迅速的发展。数理逻辑对哲学也有重要意义，它使哲学精确化，并使人易于理解。

关于思维形式及其规律的科学。包括形式逻辑、辩证逻辑、数理逻辑等分支。一般指的是形式逻辑。

逻辑学是一门古老的学科。在古希腊时期，著名学者亚里士多德(公元前384年—公元前322年)曾对逻辑学作了比较系统的阐述。亚氏的主要逻辑著作有：《范畴篇》、《解释篇》、《前分析篇》、《后分析篇》、《论辩篇》、《辩谬篇》，后人把这些著作收集在一起，合称为《工具论》。其中《范畴篇》主要研究概念和范畴问题;《解释篇》主要研究判断及其有关问题;《前分析篇》和《后分析篇》主要研究推理和证明问题;《论辩篇》和《辩谬篇》主要研究辩论的方法以及如何驳斥诡辩的问题。此外，亚氏还在其《形而上学》一书中集中论述了同一律、矛盾律、排中律。这样，以演绎法为主的形式逻辑体系在亚氏那里就初步形成了。正因为如此，后人称亚氏为“逻辑之父”，认为他是逻辑学的奠基人。

古代中国也是逻辑学的发祥地之一。春秋战国时期，许多思想家曾研究过逻辑学方面的问题，如惠施、公孙龙、墨翟、荀况、韩非等人，都有关于逻辑学的论述。其中后期墨家所建立的中国古代“名辩之学”对中国古代逻辑学的发展影响很大。《墨经》中的《经上》、《经下》、《经说上》、《经说下》、《大取》、《小取》六篇以及《荀子·正名》对中国古代逻辑学的贡献最为卓著。

古代印度也产生了逻辑学说，即“因明”。所谓“因”，是指推理的依据;所谓“明”，是指我们通常所讲的“学说”。因此，“因明”的含义就是关于推理依据的学说。在公元二、三世纪，古印度思想家足目(又称乔答摩，梵文Aksapada的意译)创立了“五支作法”的推理形式。公元五至六世纪，陈那的《因明正理门论》以及商羯罗主的《因明入正理论》使因明理论趋于系统和严密，从而形成了印度特有的逻辑理论和体系。

公元17世纪，随着实验自然科学的兴起和发展，英国哲学家弗兰西斯·培根着重研究了归纳法，他的主要著作《新工具》奠定了归纳逻辑的基础，对传统形式逻辑作出了巨大的贡献。到了19世纪，英国哲学家穆勒继续发展了培根的归纳学说，他在《逻辑体系》(中国的严复将该书译为《穆勒名学》)一书中，明确而系统地阐述了科学归纳的五种逻辑方法，即：契合法(求同法)、差异法(求异法)、契合差异并用法(求同求异并用法)、共变法和剩余法。至此，由亚氏创立的演绎逻辑和由培根创立、穆勒发展的归纳逻辑一起，构成了传统形式逻辑的基本内容。

辩证逻辑是从18世纪开始产生、发展起来的逻辑学的一个分支，它是研究辩证思维的形式及其规律的科学。18世纪德国哲学家康德在它所创立的先验逻辑中初步探讨了辩证逻辑的某些基本问题，并以先验逻辑的形式，提出了一个辩证逻辑的模糊的轮廓。到了19世纪，德国哲学家黑格尔批判了旧逻辑中形式与内容相割裂的观点，区分了知性思维和理性思维，从而建立了一个比较全面而系统的庞大的辩证逻辑体系。但是，无论是康德还是黑格尔，他们对辩证逻辑的阐述都是建立在唯心主义理论基础之上的。从19世纪中叶到20世纪，马克思主义经典作家批判地吸收了黑格尔辩证逻辑中的合理因素，用唯物辩证法的观点研究、阐述辩证思维的形式及其规律，从而为科学的辩证逻辑奠定了坚实的基础。