勾股数，又名毕氏三元数 。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方（a2+b2=c2）。

勾股定理在西方被称为Pythagoras定理，它以公元前6世纪希腊哲学家和数学家的名字命名。可以有理由认为他是数学中最重要的基本定理之一，因为他的推论和推广有着广泛的引用。虽然这样称呼，他也是古代文明中最古老的定理之一，实际上比Pythagoras早一千多年的古巴比伦人就已经发现了这一定理，在Plimpton 322泥板上的数表提供了这方面的证据，这块泥板的年代大约是在公元前1700年。对勾股定理的证明方法，从古至今已有400余种。

据《周髀算经》记载，“昔者周公问与商高曰：请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升．地不可得尺寸而度． 请问数安从出． 商高曰．数之法．出于圆方． 圆出于方．方出于矩． 矩出于九九八十一． 故折矩， 以为句，广三， 股修四． 径隅五． 既方其外．半之一矩． 环而共盘．得成三四五． 两矩共长二十有五．是谓积矩． 故禹之所以治天下者．此数之所生也． 周公曰．大哉言数． 请问用矩之道． 商高曰．平矩以正绳． 偃矩以望高。覆矩以测深．卧矩以知远． 环矩以为圆．合矩以为方． 方属地．圆属天．天圆地方． 方数为典．以方出圆。笠以写天． 天青黑．地黄赤．天数之为笠也．青黑为表．丹黄为里．以象天地之位． 是故．知地者智．知天者圣． 智出于句． 句出于矩． 夫矩之于数．其裁制万物．惟所为耳． 周公曰．善哉。”

（3n、4n、5n）（n是正整数）（这是最著名的一组！俗称“勾三，股四，弦五”。古人把较短的直角边称为勾，较长直角边称为股，而斜边则为弦。） （5n、12n、13n）（n是正整数）

（6、8、10）

（7、24、25）

（8、15、17）

（9、40、41）

（10、24、26）

（11、60、61）

（12、16、20）

（12、35、37）

（13、84、85）

（15、20、25）

（15、112、113）

（17、144、145）

（18、24、30）

(19、180、181)

（20、21、29）

（20、99、101）

（48、55、73）

（60、91、109）

简介

所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(例如a,b,c)。

即a2+b2=c2,a,b,c∈N

又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个正整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。

关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：

当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n2+2n, c=2n2+2n+1。

实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：

n=1时(a,b,c)=(3,4,5)

n=2时(a,b,c)=(5,12,13)

n=3时(a,b,c)=(7,24,25)

……

这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。

2、当a为大于4的偶数2n时，b=n2-1, c=n2+1

也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：

n=3时(a,b,c)=(6,8,10)

n=4时(a,b,c)=(8,15,17)

n=5时(a,b,c)=(10,24,26)

n=6时(a,b,c)=(12,35,37)

……

这是第二经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。

所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (大于等于2), b=4n2-1, c=4n2+1，例如：

n=2时(a,b,c)=(8,15,17)

n=3时(a,b,c)=(12,35,37)

n=4时(a,b,c)=(16,63,65)

……

a=2mn

b=m2-n2

c=m2+n2

证：

假设a2+b2=c2，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可）

如果a,b均奇数，则a2 + b2 = 2(mod 4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k

等式化为4k2 = (c+b)(c-b)

显然b,c同奇偶（否则右边等于奇数矛盾）

作代换：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，显然M，N为正整数

往证：(M,N)=1

如果存在质数p，使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a，这与(a,b)=1矛盾

所以(M,N)=1得证。

依照算术基本定理，k2 = p1a1×p2a2×p3a3×…，其中a1,a2…均为偶数，p1,p2,p3…均为质数

如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾　所以对于所有质因子,pi2|M, pi2|N，即M，N都是平方数。

设M = m2, N = n2

从而有c+b = 2m2, c-b = 2n2，解得c=m2+n2, b=m2-n2, 从而a=2mn

关于勾股数的公式还是有局限的。勾股数公式可以得到所有的基本勾股数，但是不可能得到所有的派生勾股数。比如3，4，5；6，8，10；9，12，15...，就不能全部有公式计算出来。

但可以采用同乘以任意整数的形式来获取所有解！

其中规定m>n>0（两负数相乘可抵消固不考虑），(m,n)=1，m和n必须为一奇一偶，t为正整数

a=m，b=(m^2 / k - k) / 2，c=(m^2 / k + k) / 2 ①

其中m ≥3

⒈ 当m确定为任意一个 ≥3的奇数时，k={1，m^2的所有小于m的因子}

⒉ 当m确定为任意一个 ≥4的偶数时，k={m^2 / 2的所有小于m的偶数因子}

基本勾股数与派生勾股数可以由完全一并求出。例如，当m确定为偶数432时，因为k={432^2 / 2的所有小于432的偶数因子}= {2，4，6，8，12，16，18，24，32，36，48，54，64，72，96，108，128，144，162，192，216，288，324，384}，将m=432及24组不同k值分别代入b=(m^2 / k - k) / 2，c=(m^2 / k + k) / 2；即得直角边a=432时，具有24组不同的另一直角边b和斜边c，基本勾股数与派生勾股数一并求出。而勾股数的组数也有公式能直接得到。

算术基本定理：一个大于1的正整数n，如果它的标准分解式为n=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，那么它的正因数个数为N=(m1+1)×(m2+1)×……×(mr+1)；依据定理，易得以下结论

当a给定时，不同勾股数组a，b，c的组数N等于①式中k的可取值个数

⒈ 取奇数a=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={1，a^2的所有小于a的因子}，则k的可取值个数：

N=[(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)－1]/2

⒉ 取偶数a=2^m0×p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={a^2 / 2的所有小于a的偶数因子}，则k的可取值个数：

N=[(2m0－1)×(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)－1]/2

其中，p1，p2，……，pr为互不相同的奇素数，m0，m1，……，mr为幂指数。

Java

C++

Python3.x

3，4，5 ： 勾三股四弦五

5，12，13 ： 5·21（12）记一生（13）

6，8，10： 连续的偶数

8，15，17 ： 八月十五在一起（17）

连续的勾股数只有3，4，5

连续的偶数勾股数只有6，8，10

3 4 5；5 12 13； 6 8 10；8，15，17；9 12 15

7 24 25；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30 34；16 63 65；18 24 30；18 80 82；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 35；21 72 75；22 120 122；24 32 40；24 45 51；24 70 74；25 60 65；27 36 45；28 45 53；28 96 100；30 40 50；30 72 78；32 60 68；33 44 55；33 56 65；35 84 91；36 48 60；36 77 85；39 52 65；39 80 89；40 42 58；40 75 85 ；40 96 104；42 56 70 ； 45 60 75 ； 48 55 73 ； 48 64 80 ； 48 90 102 ； 51 68 85 ；54 72 90 ； 56 90 106 ； 57 76 95 ； 60 63 87 ； 60 80 100 ；60 91 109 ； 63 84 105 ； 65 72 97 ； 66 88 110 ； 69 92 115 ；72 96 120 ； 75 100 125 ； 80 84 116。

三个数都在100以内共有52组。

三个任意半径的圆相互外切，其半径两两相加，分别是以三个圆的圆心为顶点的三角形的三个边长。如《方法图解》所示：设一直角三角形斜边为a+n,另两个直角边分别是a+b和b+n。a、b都是正整数，且a>b。以勾股定理得，展开并化简得：,即，按《方法图解》步骤得，将任意两个不相等的正整数数带入上式，注意a>b，即可得到一组勾股数。不过得到的勾股数可能不互质，要除以三个数的最大公因数，就可得到一组互质的勾股数。