区间套定理与单调有界定理、数列的致密性定理和柯西收敛准则、确界定理、有限覆盖定理共同构成实数集完备性的基本定理，并且这六个定理是相互等价的，对于研究实数集的完备性具有重要的意义。

设闭区间列 具有如下性质：

（i）

（ii）

则称 为闭区间套，或简称区间套。

这里性质（i）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：

若 是一个区间套，则在实数系中存在惟一的一点 ，使得 ，即

证 由（1）式， 为递增有界数列，依单调有界定理， 有极限 ，且有

同理，递减有界数列 也有极限，并按区间套的条件（ii）有

且

联合（3）、（5）即得（2）式。

最后证明满足（2）的 是惟一的，设数 也满足

即由（2）式有

由区间套的条件（ii）得

故有 。

由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质。

推论

若 是区间套 所确定的点，则对任给的 ，存在 ，使得当 时有

注

区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论是成立的。对于开区间列，如 ，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且 ，但不存在属于所有开区间的公共点。

例 用区间套定理证明连续函数根的存在性定理。

证 设 在区间 上连续， ，并且记 。令 ，如果 ，结论已经成立。若 ，那么 与 有一个小于零，不妨设 ，记 。再令 ，如果 ，结论已经成立。故同样可设 。那么 在 与 这两个区间中的某一个区间上端点值异号，并记这个区间为 。将这个过程无限重复下去，就得到一列闭区间 ，满足

（1）

（2）

（3）

由（1）和（2）可知 是一个区间套，由区间套定理，存在 ，且有 。因为 在点 连续，所以由（3）得

则必有 。显然 ，它就是 的一个零点。