半准素环(semiprimary ring)是指有幂零根的特殊环类。若J(R)是环R的雅各布森根，且J(R)是幂零的，则当R/J(R)是(阿廷)半单环时，称R是半准素环。

半准素环(semiprimary ring)是指有幂零根的特殊环类。若J(R)是环R的雅各布森根，且J(R)是幂零的，则当R/J(R)是(阿廷)半单环时，称R是半准素环；当R/J(R)是(阿廷)单环时，称R是准素环；当R/J(R)是除环时，称R是完全准素环。准素环是完全准素环上的全矩阵环。若R是半准素环，则R是右阿廷环当且仅当R是右诺特环。

的全体构成的集类，则F是R上的一个环。环也是对于交与对称差运算封闭的集类，并按这两种运算成为布尔环。要把R上的勒贝格测度和勒贝格-斯蒂尔杰斯测度以及相应的积分理论推广到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集类并研究其性质。环以及半环、σ环、代数、σ代数等重要集类正是为了这一目的而引入的。

与群论中单群类相对应的基本环类。一个环(代数)R，若只有平凡理想(即除R和零理想外不含其他理想)，则称R为弱单环或单纯环(弱单代数)。弱单环(弱单代数)可分两类：一类是R≠0，此类环(代数)称为单环(单代数)，它的幂零根为零；另一类是R=0，R称为零乘环，它的幂零根是R本身.域F上的全矩阵环是单环，也是F上的单代数。F上有限维单代数必含单位元。

素环是一类重要的环。若环R的零理想是素理想，则称R为素环。环R是素环当且仅当下列等价条件之一成立：

1.设A，B是R的理想，若AB=(0)，则A=(0)或B=(0)。

2.R中任意非零左(右)理想的左(右)零化子为零。

3.对任意x∈R，若RxR=(0)，则x=0。

例如，整环、单环、本原环都是素环。素环与素理想有如下关系：P是R的素理想当且仅当R/P是素环。

准素环是指接近素环的特殊环类。一个有单位元的交换环R，若它最多含一个素理想P，则称R为准素环。例如，域是准素环。若交换环R的准素理想Q有极大理想M作为其相伴素理想，则R/Q也是准素环。任意满足降链条件的有1交换环R，可惟一分解为诺特准素环的直和。

一类具有降链条件的环。它是阿廷(Artin，E.)引入的。对左(右)理想满足降链条件(或说对左(右)理想满足极小条件)的环称为左(右)阿廷环。左阿廷环未必是右阿廷环。阿廷环R的一切幂零(单侧和双侧)理想的和，记为N，称为R的幂零根。N是R的最大幂零理想，且R/N不含非零的幂零单侧理想.。但对一般环(或代数)不成立.幂零根也称古典根，对域上有限维代数，可同样定义幂零根。阿廷对类域论、实数域理论、代数数论及拓扑学的辫子理论都有重要贡献。他于1927年创立的阿廷环理论推动了抽象代数学的发展。

半单阿廷环是一种特殊的阿廷环。即幂零根为零的阿廷环。环R是半单阿廷环当且仅当左(右)正则模是半单模。常简称半单环。著名的韦德伯恩-阿廷定理给出：R是半单环的充分必要条件是R为有限个单阿廷环的直和，若不计顺序则是惟一的。并且，单阿廷环同构于一个除环D上有限维向量空间的线性变换环。换言之，单阿廷环同构于某除环D上全矩阵环Dn，其中n是单阿廷环表为极小左理想的直和的长度。这一定理是对有限维半单代数结构定理的完美推广。

以右(左)拟正则性为根性质的一种重要的根。设R是任意环，若R有本原理想，则环R的一切本原理想的交称为R的雅各布森根，用J(R)表示.当R无本原理想，规定J(R)=R，此时R称为J根环(雅各布森环)。雅各布森根还可以从多种角度描述：J(R)等于R的一切左本原理想的交，又等于R的最大的右拟正则理想，它包含R的一切右拟正则右理想，还等于R的最大左拟正则理想，它包含R的一切左拟正则左理想，同时，亦等于R的一切模的极大右理想的交，也等于R的一切模的极大左理想的交，又等于{x∈R|xa是右拟正则，对任意a∈R}.雅各布森根是雅各布森(Jacobson，N.)于1945年引入的。