半连续，数学概念，定义在拓扑空间E上的数值函数f称为在E的点x0下(上)半连续，如果对满足bf(x0))的R上任一元素b，存在x0的邻域V，使对V上的任一点x，bf(x))，如果f在E上的任一点都是下(上)半连续的，则称f在E上是下(上)半连续的。

如果某个函数 的上图是闭集，我们称 为闭函数。闭性与经典的下半连续性的概念有关，函数 是在向量 处下半连续的，如果

对于每个满足 的点列 成立，我们称 是下半连续的(lower semicontinuous)，如果它在定义域X的每一点x处都是上半连续的，我们称 是上半连续的(upper semicontinuous)，如果 是下半连续的，这些定义与针对实函数的相应定义是一致的。

以下命题将函数的闭性、下半连续性和函数水平集的闭性联系起来。见图1

图1 函数上图和它的水平集关系的示意图，易见水平集 经过平移后等同于 和“切片” 的交集，这表明 为闭当且仅当所有的水平集为闭。

对于函数 ，以下各款等价：

(i)水平集 对每个标量 均为闭；

(ii)函数 为下半连续的；

(iii)集合 为闭。

证明： 如果 对所有 成立，那么结果是平凡的，显然成立。我们假定 对至少一个 成立，这样 就是非空的，且至少有一个非空的水平集，先来证明(i)蕴含(ii)。假定水平集 对于每个标量 都是闭的，反设

对某个 和收敛到 的点列 成立，并且令 为满足

的标量。那么必存在子列 使得 对所有 成立，于是 成立，由于 是闭的， 必然也属于 ，于是 ，从而导出矛盾。

下面证明(ii)蕴含(iii)，假定 在 上为下半连续，并令 为点列

的极限，于是我们有 ，进而令 ，由 在 处的下半连续性，我们得到

于是， 故 为闭。

最后证明(iii)蕴含(i)。假定 为闭，且令 为点列，它收敛到某个 且属于对应于某个标量 的水平集 ，于是 对于所有的k成立，并且 ，因而由于 为闭，我们有

，故 属于 ，这意味着这个集合是闭的。

在大部分推导中，我们倾向于采用闭性的概念，而较少用到下半连续性，其中的一个原因是，不同于闭性，下半连续性是一个与定义域有关的性质。例如，由

定义的函数 既不是闭的也不是下半连续的；但如果把它的定义域限制到(0，1)上，就变成为下半连续。

另一方面，如果函数 具有闭的有效定义域且在每个 处均为下半连续，那么 必然是闭的，我们把这个结论叙述为一个命题，其证明可以据命题1证明(ii)蕴含(iii)的过程给出。

令 为一函数，如果它的有效定义域 是闭的，且 在每个 处均是下半连续的，那么函数 是闭的。

举例来说，集合X的示性函数为闭当且仅当X是闭的(“当”的部分可以根据上述命题得出，而“仅当”的部分可以用上图的定义导出)，更一般地，如果 是形如

的函数，其中 为连续函数，那么可以证明 是闭的当且仅当X是闭的。

最后需要指出非真的闭凸函数非常特殊：它不能在任何点上取有限值，因此它具有如下形式

为明白其中的原因，让我们来考虑非真的闭凸函数 ，并假定存在着某个x使得 为有限．令 满足 。(这样的点必然存在，因为 是非真的并且 不恒等于∞)，因为 是凸的，可知每个点

都满足 ，同时有 ，因为 是闭的，这意味着 ，从而导出矛盾，总之，非真的闭凸函数在任何点都不能取有限值。

若干个半连续函数，它们的和是一个无处半连续的函数。

两个半连续函数，其最小值函数并不半连续。

一个收敛的上半连续函数序列，其极限函数并不上半连续。