黎曼几何是微分几何的一个重要分支，由德国数学家黎曼(Riemann，(G.F.)B.)于19世纪中期所开创。他于1854年在哥丁根大学所做的就职演说“关于几何学基础的假设”是黎曼几何的发端。

单参数变换群(one-para meter group of trans-formations)亦称R在流形上的(左)作用。黎曼几何的一个概念。流形上的一族微分同胚。C流形M上的单参数变换群是M的一族C微分同胚{φt}(t∈R)，它具有以下性质：

1.φ：R×M→M， (t，p)→φt(p)是C映射。

2. φ0：M→M是恒同映射。

3. φs°φt=φs+t。

若U是M的一个开邻域，Iε=(-ε，ε)，以Iε×U来替代R×M且使t，s，t+s∈Iε，则{φt}称为作用在U上的局部单参数变换群。这时φt：U→φt(U)是C微分同胚。

对于局部单参数变换群{φt}及U中的任一点p，由t→φt(p)定义的映射γp：Iε→M是M中过p的一条参数曲线。它称为群{φt}过p点的轨线，以Xp表示轨线γp(t)=φt(p)在p点的切向量，即：

这样就在U上给定了一个C向量场X，它称为由{φt}诱导的向量场。因为(φt)*Xp=Xγp(t)=Xφt(p)，即(φt)*X=X，所以{φt}的轨线都是其诱导的向量场的积分曲线，并且诱导向量场X在每个微分同胚φt下是不变的。对于M上的单参数变换群有相同的结论。反之，若给定一个M上的C向量场Y，则有：对M的任一点p，必存在含p的一个邻域U及作用在U上的局部单参数群{φt}，使得在U上Y|U是由{φt}诱导的向量场。因此，也称Y是局部单参数变换群{φt}的无穷小生成元，或简单地说Y生成{φt}。当M是紧致连通流形时U=M，从而紧致C流形M上的C向量场是一个单参数变换群的无穷小生成元。

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

拓扑空间之间的一种变换。若f是拓扑空间(X，T)到(Y，U)的单满映射，并且f与f都是连续的，则称f为同胚映射或拓扑变换。存在同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的或拓扑等价的。同胚关系是等价关系。抽象空间的同胚是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)于1910年开始研究的。在狭窄的意义下同胚的概念早已被庞加莱(Poincaré，(J.-)H.)引入。

微分同胚是微分流形之间的一类同胚映射。它与它的逆映射都是可微的.设M，N均为微分流形，对于映射f：M→N，若f是同胚映射，并且f，f都是C可微映射，则称f为M到N上的C微分同胚。C微分同胚f：M→N简称M到N上的微分同胚。对于微分流形M，N，若存在(C)微分同胚f：M→N，则称M与N是(C)微分同胚的微分流形，记为MN.“”是微分拓扑学中的基本等价关系。微分拓扑的基本任务是研究微分流形在微分同胚下保持不变的性质，以及寻求在怎样的条件下两个微分流形是微分同胚的。米尔诺(Milnor，J.W.)于1956年证明，在S上至少存在两个不微分同胚的微分构造。后来证实，S上恰好有15个这样的不同的微分构造。

微分几何的一个重要分支，由德国数学家黎曼(Riemann，(G.F.)B.)于19世纪中期所开创。他于1854年在哥丁根大学所做的就职演说“关于几何学基础的假设”是黎曼几何的发端。后经克里斯托费尔(Christoffel，E.B.)、里奇(Ricci，C.G.)、列维-齐维塔(Levi-Civita，T.)等人进一步完善和发展，成为爱因斯坦(Einstein，A.)于1905年创立广义相对论的有力数学工具，也使黎曼几何得以蓬勃发展。嘉当(Cartan，E.)建立的外微分形式和活动标架法，使李群与黎曼几何沟通起来，为黎曼几何的发展开辟了广阔的前途，影响极为深远。近半个世纪以来，黎曼几何的研究从“局部”发展到“整体”，产生了许多深刻的并在其他数学分支(如拓扑学、偏微分方程论、多复变函数论等)及理论物理中有重要影响的结果。黎曼几何已成了现代数学的重要内容之一。

黎曼几何是黎曼流形上的几何学，黎曼流形是局部欧氏化的微分流形。设M是n维微分流形，若在每点p∈M的切空间中给定一个光滑依赖于p的欧氏度量gp(即正定数积)，则(M，g)就成为黎曼流形，g称为黎曼度量。当g与点p无关时，就得到通常的欧氏空间。黎曼的杰出创造之处就在于把度量看成是附加到流形上去的一个结构，一个流形可赋予众多的黎曼度量。