对勾函数_数学函数 - 线报百科mbji.cn

对勾函数

数学函数

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如f(x)=ax+b/x（ab＞0）的函数。由图像得名，又被称为“双勾函数”“勾函数”“对号函数”“双飞燕函数”等。常见a=b=1。

性质

图像

对勾函数的图像是分别以轴和为渐近线的两支曲线，且图像上任意一点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角（0-180°）的正弦值与|b|的乘积。

若，在第一象限内，其转折点为；在第三象限内，其转折点为。

若，在第二象限内，其转折点为；在第四象限内，其转折点为。

最值

当定义域为时，在处取最小值，最小值为。

当定义域为时，该函数无最值。

当定义域为时，在处取最大值，最大值为。

当定义域为时，该函数无最值。

当定义域为时，在处取最小值，最小值为。

奇偶、单调性

对勾函数是奇函数。

当a＞0,b＞0时，令，那么：

增区间：和；减区间：和

变化趋势：在y轴左边先增后减，在y轴右边先减后增。

渐近线

对勾函数的两条渐近线分别为轴、。

函数定义

对勾函数是指形如的函数。

推导过程

1.导数法

求导得

令f'(x)=0，计算得

即对勾函数的转折点横坐标分别为，。

2.均值不等式法

当时，

将中看做a，看做b代入上式，得

故当时，对勾函数的转折点横坐标为。

参考资料

对勾函数的应用.《中学生数学》2019年17期.

最新修订时间：2024-11-03 17:14

条目作者

概述

性质

参考资料