反比例函数的图像属于以原点为
对称中心的
中心对称的两条曲线，反比例函数图像中每一
象限的每一条曲线会
无限接近x轴y轴但不会与
坐标轴相交（y≠0）。
定义
k＞0时，图像在一、三象限；k小于0时，图像在二、四象限。k的
绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。
表达式
即：（k为常数且k≠0，x≠0）
自变量的取值范围
①在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数。
解析式
其中x是自变量，y是x的函数，其
定义域是不等于0的一切实数，
即{x|x≠0，x属于R这个范围。R是实数范围。也就是x是实数}。
下面是一些常见的形式：，y=x^(-1)*k（k为常数（k≠0），x不等于0）
因为在反比例函数的解析式y=k/x（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数的解析式。因而一般只要给出一组x或者y的值或图像上任意一点的坐标，然后代入y=k/x中即可求出k的值，进而确定反比例函数的解析式。
函数图象
当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支
无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.
图象画法
三步法
（1）列表：
（2）描点：在
平面直角坐标系中标出点（一般标5个点，称为5点
作图法）。
当两个数相等时那么曲线呈弯月型。
k的意义及应用
过反比例函数（）图象上任意一点P（x，y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积为。过反比例函数图象一点，作任一坐标轴的垂线，并连接原点，围成的
三角形的面积为。
研究
函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积为。
所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。这个常数是k的
绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。
函数性质
单调性
当k＞0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；
当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大；
当k＞0时，函数在x＜0上为减函数、在x＞0上同为减函数；k＜0时，函数在x＜0上为增函数、在x＞0上同为增函数。
相交性
因为在(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能
无限接近x轴，y轴。
面积
在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的
平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|，
反比例函数上一点向x、y轴分别作垂线，分别交于x轴和y轴，则QOWM的面积为|k|，则连接该矩形的
对角线即连接OM，则RT△OMQ的面积=½|k|。
图像表达
反比例函数图象不与x轴和y轴相交的
渐近线为：x轴与y轴。
k值相等的反比例函数图象重合，k值不相等的反比例函数图象永不相交。
|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
对称性
反比例函数图象是
中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图象也是
轴对称图形，其
对称轴为y=x或y=-x；反比例函数图象上的点关于
坐标原点对称。
图象关于原点对称。若设
正比例函数y=mx与反比例函数交于A、B两点（m、n同号），那么A、B两点关于
原点对称。
反比例函数关于正比例函数y=±x
轴对称，并且关于原点
中心对称。
应用举例
例1
反比例函数图象上有一点P（m，n）其坐标是关于t的一元二次方程t^2+3t+k=0的两根，且P到原点的距离为
根号13，求该反比例函数的
解析式．
分析：
要求反比例函数解析式，就是要求出k，为此大家就需要列出一个关于k的方程．
解：∵m，n是关于t的方程的两根
∴m+n=-3，mn=k，
又∵P到原点的距离为根号13
m＾2+n＾2=13，m+n=-3;
∴(m+n)＾2-2mn=13，m+n=-3；
∴9-2k=13
∴k=-2
∴该反比例函数的解析式为y=-2/x.
例2
直线与位于
第二象限的双曲线相交于A、A1两点，过其中一点A向x、y轴作
垂线，垂足分别为B、C，矩形ABOC的面积为6，求：
（1）求双曲线的解析式
分析：矩形aboc的边AB和AC分别是A点到x轴和y轴的
垂线段，设A
点坐标为（m，n），则AB=|n|，AC=|m|，
由已知条件知，该双曲线位于第二、
四象限，因此，A点坐标值异号，
即双曲线的解析式为xy=-6.例3
已知
一次函数y=-x+6和反比例函数y=k/x（k≠0）
（2）k满足什么条件时，这两个函数在同一
坐标系中的图像有两个交点。
（3）当图像有两个交点时（设为A和B），判断∠AOB是锐角、
钝角还是直角。
说明理由。解（1）一次函数y=-x+6和反比例函数y=k/x（k不等于零）有两个交点，即
化简的有两个交点，则方程有两个不同的解
即所以k<9且k不等于0
（2）当0第一象限所以∠AOB是锐角，当k＜0时，两交点分别在第二和
第四象限所以∠AOB是钝角
例3
已知函数.
（2）当m为何值时，y是x的反比例函数。
解（1）正比例函数则x次数是1
(m-2)(m+1)=0
m=2，m=-1
系数不等于0
m-1≠0
所以m=2，m=-1
（2）反比例函数则x次数是-1
m(m-1)=0
m=0，m=1
系数不等于0
m-1≠0
所以舍去m=1
因此m=0
例4
一矩形的面积为24，则该矩形的长x cm与宽y cm之间的关系是什么？请写出函数
表达式，若要求矩形的各边长均为整数，请画出所有可能的的矩形。
解：面积xy=24
函数表达式(x>0)
矩形的各边长均为整数
可以取x=1，2，3，4，6，8，12，24
知识与概念
概念理解
重点知识
对于双曲线，若在分母上加减任意一个实数m（m为常数），就相当于将双曲线图象向左或右平移m个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）
延伸
设n为
正整数，则n的所有取值所对应的函数交于（1，1）和（-1，-1），且当n越大并且x>1时，图像离坐标轴近；当n越大并且0x时，图像离坐标轴近。
设n为正整数，则n的所有取值所对应的函数交于（-1，1）和（1，1），且当n越大并且x>1时，图像离坐标轴近；当n越大并且0x时，图像离坐标轴近。
设n为正整数，则n的所有取值所对应的函数和交于（1，1）。