发散级数指不收敛的级数。一个
数项级数如果不收敛,就称为
发散,此级数称为发散级数。一个
函数项级数如果在(各项的定义域内)某点不收敛,就称在此点发散,此点称为该级数的发散点。按照通常级数收敛与发散的定义,发散级数是没有意义的。然而为了实际的需要,可以确立一些法则,对某些发散级数求它们的“和”,或者说某个发散级数在特定的极限过程中,逐渐逼近某个数。但是在实际的数学研究以及物理等其它学科的
应用中,常常需要对发散级数进行运算,于是数学家们就给发散级数定义了各种不同的“和”,比如Cesàro和,Abel和,Euler和等,使得对收敛级数求得的这些和仍然不变,而对某些发散级数,这种和仍然存在。
发散级数指不收敛的级数。一个
数项级数如果不收敛,就称为
发散,此级数称为发散级数。一个函数项级数如果在(各项的定义域内)某点不收敛,就称在此点发散,此点称为该级数的发散点。
记无穷级数.
赋予某些发散级数以“和”的法则,按照柯西的定义,收敛级数以其部分和的极限为和,这种和是有限(项的)和的直接推广,可称为柯西和,按照这种定义,发散级数是没有和的,从而只是没有实际意义的数学记号而已。然而数学的发展表明,完全排斥发散级数是不恰当的。例如,函数 1/(1+x2) 在 x=±1 时是有意义的,而在其泰勒展开式中令x=±1却得到发散级数,这说明它应该是有“和”的。
级数求和主要是针对发散级数提出来的。每一种求和法都能使某些发散级数有和,同时又希望按照它,所有的收敛级数都是可和的,并且所求出的和与其柯西和相等,这样的级数求和方法就称为正则的。级数的正则求和法是收敛性(柯西和)概念的直接推广,在调和分析、通近论等数学学科中有很多应用。
每一种有意义的级数求和法表面上都有很重的主观定义色彩,但在数学内部多半都可找到它的深刻背景,像阿贝尔求和法,源于关于
泰勒级数的
阿贝尔极限定理;而算术平均求和法,就与
傅里叶级数部分和的性态有关。