集合S上的一个二值测度(a two-valued measure)μ是指一个定义在S的幂集P(S)上的函数，对于每一x∈P(S)，μ(x) =0或μ(x) = 1，并且使得，给定S的两两不相交的子集的任何有穷或可数的集合Σ，如果Σ的每一元素(在μ下) 的值为0，则μ(UΣ)=0。测度μ称为非不足道，如果U(S) =1，并且对于S的每一有穷子集x，μ(x)=0。集合S称为是可测的，如果存在S上的一非不足道的测度。一个集合S是不是可测的只依赖于它的基数。可测集合的基数称为可测基数(measurable cardinal)。

波兰数学家巴拿赫(S.Banach)和波兰数学家库拉托夫斯基(K.Kuratowski)于1920年证明了：若则在连续统上不存在(可数可加)测度，因而，可测基数的存在性不是简单的问题。研究可测基数，肇始于1930年的巴拿赫等人。两种可测基数之间有如下关系：首先，由定义可直接可得，二值可测基数必是实值可测基数。其次，美国数学家乌拉姆(S.M.Ulam)于1930年证明了，每个实值可测基数要么要么是二值可测基数。于是可推知，在广义连续统假设下，实值可测基数与二值可测基数相同。

利用以色列学者索洛韦(R.M.Solovay)于1971年的结果可以证明，实值可测基数κ必是弱马赫罗基数，且小于κ的弱马赫罗基数组成κ的驻子集，乌拉姆早在1930年就证明了最小的可测基数≥最小的不可达基数。大约1960年，开斯勒(H.J.Keisler)和波兰学者塔尔斯基(A.Tarski)引入超积方法研究可测基数，证明了最小的可测基数比最小的不可达基数要大。另外，由于二值可测基数有树性质，于是得知，二值可测基数必是弱紧基数，若假设“存在二值可测基数”的大基数公理成立，则有如下这些关于可构造公理与广义连续统假设的结论：斯科特(D.S.Scott)于1961年用超幂方法证明了，若存在可测基数，则V≠L，即可构造公理不成立；罗伯托姆(F.Rowbottom)的下述结论更指出了大量的子集是不可构造的：若存在可测基数κ，则对每个满足ω≤λ<κ的基数λ，仅有λ个可构造子集，特别地，ω仅有可数个可构造子集；法国数学家、工程师莱维(A.Lévy)和以色列学者索洛韦于1971年用力迫法证明了，设“ZF+存在可测基数”相容，则“ZF+存在可测基数+CH”以及“ZF+存在可测基数+ᒣCH”都相容，这儿CH表示连续统假设，此定理断定，即使加上“存在可测基数”的假定，对于连续统假设的真假，ZF系统仍不能做出明确的判断。

可测基数(measurable cardinal)是一类重要的大基数，指利用抽象测度概念定义的基数。设κ是无穷基数，若任何基数为κ的集合A上，都存在λ可加实值测度(或λ可加2值测度)，则称κ是λ-C(或λ-2)可测基数。若κ>是κ-C(或κ-2)可测基数，则称κ是实值可测(或二值可测)基数，两者合称为可测基数。

定义 设S是一无穷集，是单位闭区间，函数满足下列性质：

(i)；

(ii) 如果，则有；

(iii) 对所有，有；

(iv) 如果是两两不交的，则

则称是S上的一个非平凡的、可加实值测度。其中(iii)表示其非平凡性，(iv)表示其可加(即可数可加)性。若μ只取0，1二值，则称是S上的二值测度。

设μ是S上一二值测度，令

则U是S上的非主完全的超滤，反之，若U是S上完全的超滤。函数定义如下：

则μ又是S上的二值测度。

一般地，我们可以证明：如果μ是集S上的二值测度，则μ是κ-可加的充要条件为U是κ-完全的。

由于S上的κ-完全超滤和S上的κ-可加测度之间的这种内在联系，所以也把超滤说成为测度。

研究实值可测基数，也是大基数研究中一个子课题，这里省略。

引理S上的超滤U是κ-完全的充要条件为不存在S的r<κ个部分的划分使得所有。

定义 设μ是S上一测度，集合称为μ的原子，若，并且对每一个都有或。

S上的测度是非原子的，若没有原子。

引理 若μ是κ上的非原子测度，则对任何Xκ，都存在不交的使得。

定理 如果κ是具有非平凡的测度μ的最小基数，则μ是κ-可加的(即如果是κ的两两不交的子集族，λ<κ，则)。

推论 如果κ是具有非平凡的测度，则κ是不可及的。

定理 若κ上存在κ-可加非原子的测度，则κ。

定理 如果κ上的测度μ有原子，则κ上存在二值测。

定义κ是可测基数(Measurable cardinal)的充要条件为κ>ω且κ上有二值κ-可加非平凡的测度。或者说κ可测κ上存在κ-完全的非主超滤。

推论 可测基数是不可及基数。