合成代数(composition algebra)是一类特殊的代数，它是一对对偶空间的张量积所成的代数。

数学的一个分支。传统的代数用有字符 (变量) 的表达式进行算术运算，字符代表未知数或未定数。如果不包括除法 (用整数除除外)，则每一个表达式都是一个含有理系数的多项式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一个代数方程式 (参见EQUATION)是通过使多项式等于零来表示对变量所加的条件。如果只有一个变量，那么满足这一方程式的将是一定数量的实数或复数——它的根。一个代数数是某一方程式的根。代数数的理论——伽罗瓦理论是数学中最令人满意的分支之一。建立这个理论的伽罗瓦(Evariste Galois，1811-32)在21岁时死于决斗中。他证明了不可能有解五次方程的代数公式。用他的方法也证明了用直尺和圆规不能解决某些著名的几何问题(立方加倍，三等分一个角)。多于一个变量的代数方程理论属于代数几何学，抽象代数学处理广义的数学结构，它们与算术运算有类似之处。参见，如： 布尔代数(BOOLEAN ALGEBRA);群 (GRO-UPS);矩阵(MATRICES);四元数(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。这些结构以公理 (见公理法 AXIOMATICMETHOD) 为特征。特别重要的是结合律和交换律。代数方法使问题的求解简化为符号表达式的操作，已渗入数学的各分支。

设K为一交换体. 把K上的向量空间E叫做K上的代数，或叫K-代数，如果赋以从E×E到E中的双线性映射.换言之，赋以集合E由如下三个给定的法则所定义的代数结构：

——记为加法的合成法则(x，y)↦x+y;

——记为乘法的第二个合成法则(x，y)↦xy;

——记为乘法的从K×E到E中的映射(α，x)↦αx，这是一个作用法则;

这三个法则满足下列条件：

a) 赋以第一个和第三个法则，E则为K上的一个向量空间;

b) 对E的元素的任意三元组(x，y，z)，有

x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;

c)对K的任一元素偶(α，β)及对E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).

设A为一非空集合. 赋予从A到K中的全体映射之集ℱ(A，K)以如下三个法则：

则ℱ(A， K)是K上的代数， 自然地被称为从A到K中的映射代数.当A=N时， 代数ℱ(A，K)叫做K的元素序列代数.

无论是在代数还是在分析中，代数结构都是最常见到的结构之一。十九世纪前半叶末，随着哈密顿四元数理论的建立，非交换代数的研究已经开始。在十九世纪下半叶，随着M.S.李的工作，非结合代数出现了。到二十世纪初，由于放弃实数体或复数体作为算子域的限制，代数得到了重大扩展。

与外代数，对称代数，张量代数，克利福德代数等一起，代数结构在多重线性代数中也建立了起来。

一种特殊的线性空间。即线性空间的线性函数空间。设V是域P上的线性空间，V的所有线性函数构成的域P上的线性空间，称为V的对偶空间，记为V(即HomP(V，P)).当dim V=n，并且ε1，ε2，…，εn是V的基时，由等式εi(εj)=δij(i，j=1，2，…，n)所确定的n个线性函数ε1，ε2，…，εn是V的基，称为基ε1，ε2，…，εn的对偶基。由上知，当dim V=n有限时，dim V=dim V=n;但当dim V无限时，二者不再相等，即它们的基元素不再是一一对应的。

代数张量积是构造新代数的一种重要方法。两个R代数A，B作为R模的张量积A RB是由{x y|x∈A，y∈B}生成的R模，并具有泛性质(即对任一R代数P，作为模若Φ：A×B→P是R模双线性平衡映射，则存在惟一的R模同态φ：A RB→P，使得对任意x∈A，y∈B恒有φ(x y)=Φ(x，y))，于是，在A RB中存在一个乘法运算满足：

(x1y1)(x2y2)=x1x2y1y2

(x1，x2∈A;y1，y2∈B)，

且在此乘法下A RB成为R结合代数，称为A，B的张量积。当A，B有单位元时，1=1A1B为A RB的单位元。由于R代数的张量积也是R模的张量积，因此，R模张量积的性质作为代数张量积也成立。此外，还有

(A B) C A (B C)，

(A⊕B) C A C⊕B C，

R A A R A.

张量积对研究代数结构有重要意义。例如，域F上有限维单代数恒为F上n阶全阵代数Fn与F上可除代数D的张量积。从而将有限维单代数的研究归结为可除代数的研究。

合成代数是一类特殊的代数。它是一对对偶空间的张量积所成的代数。若E*，E是域K上的对偶空间，对任意的x，y∈E，x*，y*∈E*，由：

定义空间 的乘法，则EE是一个非交换的结合代数，称为E*与E的合成代数。

几个早期作者注意到了平方和的组成。 Diophantus意识到涉及两个平方的总和的性质，现在称为“Brahmagupta-斐波纳契”（Brahmagupta-Fibonacci）性质，这也被称为复数的欧几里得规范的属性。 Leonhard Euler在1748年讨论了四平方的身份，并引导W. R. Hamilton建立了四维数的四维代数。1848年，描述了一些给双重复数的第一个光子。

约1818年，丹麦学者费迪南德·德根（Ferdinand Degen）展示了德根的八平方厘米特性，后来与八项代数元素的规范相联系：

历史上，第一个非关联代数，Cayley数...出现在二次形式的数论问题的上下文中，允许组合...这个数论问题可以转化成一个关于某些代数系统，合成代数的问题。

在1919年，伦纳德·迪克森（Leonard Dickson）通过对该日期的努力进行了调查，提出了对赫尔维茨问题的研究，并展示了将四元数加倍以获得凯利数字的方法。他引入了一个新的虚构单位e，对于四元数q和Q写出一个Cayley数q + Qe。用q'表示四元数共轭，两个Cayley数的乘积为：

Cayley数的共轭是q'-Qe，二次形式是qq'+ QQ'，通过将该数乘以其共轭而获得。加倍方法已经被称为Cayley-Dickson构造法。

在1923年，具有正定形式的真正代数的情况由赫尔维茨定理（合成代数）界定。

在1931年，Max Zorn在Dickson结构中的乘法规则中引入了一个伽马（γ），以产生分裂八次。阿德里安·阿尔伯特（Adrian Albert）在1942年也使用了伽马，当时他表明，迪克森加倍可以应用于具有平方函数的任何领域，以二次形式构建二元数组，四元数和八次代数。内森·雅各布森（Nathan Jacobson）在1958年描述了合成代数的自动化。

R和C域上的经典合成代数是单位代数。没有乘法性质的合成代数由H.P. Petersson（Petersson代数）和Susumu Okubo（Okubo algebras）等。