和乐群(holonomy group，亦称完整群）是数学术语，是反映一联络与平坦联络之间差别的一个群。

设𝓗为ξ=π:E→M为向量丛的联络，则由沿基点为p∈M的分段光滑闭曲线的平移Ep→Ep的同构集G(p)为GL(Ep)的子群，称为𝓗在p点的和乐群。

联络𝓗在p点的限制和乐群为G(p)的同伦于单位道路的闭曲线组成的子群G0(p)。故限制和乐群为李群GL(Ep)的道路连通子群，即亦为李群。

和乐群(holonomy group)亦称完整群。反映一联络与平坦联络之间差别的一个群。在主纤维丛上给定一个联络后，可将纤维沿底空间M中的曲线平行移动。设γ是一条以x∈M为基点的闭环路，从x点出发沿γ绕行一周后，位于x处的纤维中的另一点v′，一般地它不再是原来的v，记v′=v·gγ，其中gγ是结构群G中的元素。当γ取遍所有以x为基点的闭环路后，这些相应的元素gγ的全体就构成了G的一个子群H，称为主纤维丛上该联络的和乐群。若γ限于以x为基点的同伦于零的闭环路，则相应的元素gγ的全体就构成了G的另一个子群H，称为该联络的齐次和乐群。这两种和乐群与该联络的曲率有极密切的关系。使和乐群为G中恒等元的联络即是平坦联络。使齐次和乐群为G中恒等元的联络即是局部平坦联络。伯热(Berger，M.)于1955年对黎曼流形的和乐群作出了详尽的分类。

为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。 有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。

严格地，定义D（X）Y：TM×TM→TM为联络，如果：

（1）D(fX+gZ)Y=fD(X)Y+gD(Z)Y

(2)D(X)(fY+gZ)=X(f)Y+fD(X)Y+X(g)Z+gD(X)Z

称D为一个无挠联络，如果

(3)D(X)Y-D(Y)X=[X,Y]，[,]为泊松括号。

称一个无挠联络为列维-奇维塔联络，如果

（4）X(Y,Z)=(D(X)Y,Z)+(Y,D(X)Z)，（，）为黎曼度量。

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

同伦是拓扑学的重要概念。直观地说，从拓扑空间X到拓扑空间Y的连续映射f，g是同伦的，是指在Y中可将f连续形变成g。研究映射的同伦分类问题是同伦论的基本内容之一。

设f、g是拓扑空间X到Y的两个连续映射，若存在连续映射H：X×I→Y使得：

H(x，0)=f(x)

H(x，1)=g(x) x∈X

则称f与g同伦，记为f≃g：X→Y或f≃g，映射H称为f与g之间的一个同伦。f与g的同伦H也可理解为单参数映射族{ht}t∈I，ht连续地依赖于t且h0=f，h1=g，即当参数t从0变到1时，映射f连续地形变为g。与常值映射同伦的映射称为零伦的。若以C[X，Y]表示X到Y的一切连续映射之集，则同伦关系≃是C[X，Y]上等价关系，每个等价类称为一个同伦类，同伦类的全体所成集记为[X，Y]。设Y是R的子空间，f，g：X→Y是连续映射，若对每个x∈X，点f(x)与g(x)可由Y中线段连结，则f≃g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零伦，即[X，Y]仅含一个元素。设X，Y与Z均为拓扑空间，若f≃f：X→Y，g≃g： Y→Z，则gf≃gf： X→Z。

设X，Y为拓扑空间，若存在连续映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf≃Idx且f·g≃idr。这Id、id均表示恒同映射，则称f为同伦等价，g为f的同伦逆，而将X与Y称为具有相同的伦型，或简称同伦的，记作X≃Y。与单点空间同伦的空间称为可缩的，或者存在x0∈X，使得常值映射C：X→X。x1→x0与映射idx同伦，空间X可缩。R和R中凸集均为可缩空间。同伦关系是拓扑空间之间的等价关系。X可缩等价于下列几条中任意一条：(1)idx≃0，即恒同映射idx零伦。(2) 对任意空间Y，映射f：X→Y，有f≃0。(3)对任意空间Z和连续映射g：Z→X，g≃0。

设A是空间X的子空间，i：A→X表包含映射，若存在连续映射r：X→A，使得r|A=idA(或r·i=idA)，则r称为X到A的保核收缩，A称为X的收缩核。若有保核收缩r：X→A满足i·ridx：X→X，则H称为X到A的形变收缩，A称为X的形变收缩核，若同伦H还满足对任意x∈A和t∈I有H(x，t)=x，则H称为X到A的一个强形变收缩，A称为X的强形变收缩核。强形变收缩是形变收缩，且若A是X的形变收缩核，则内射i：A→X是同伦等价。

两个拓扑空间X和Y同伦等价的充要条件是：存在空间Z，使得X与Y分别同胚于Z的两个强形变收缩核。

伦型相同的拓扑空间所共有的性质称为同伦不变量。由于同胚的空间必同伦，故同伦不变量一定是拓扑不变量。代数拓扑学主要研究空间的同伦。

设A为空间X的子空间，序偶 (X，A) 称为空间偶，连续映射f： X→Y，把A映到Y的子空间B内，则记f：(X，A)→(Y，B)。若有连续映射f：(X，A)→(Y，B)，g：(Y，B)→(X，A)使得g·f=idx，f·g=idY，则f为空间偶的同胚。同样有偶的同伦的概念。若有偶的同伦：fg：(X，A)→(Y，B)满足：对任意t∈I，x∈A有H(x，t)=f(x)=g(x)，称f和g相对于A同伦，记作：或。 当A为空集∅时，相对同伦就是一般同伦。设A⊂X，则A是X的强形变收缩核的充要条件是：存在收缩映射(保核收缩)r：X→A使得ir≃idx：X→XrelA，其中i：A→X为内射。