设 M 为巴拿赫微分流形， 为其
切丛，若 Cr 映射 满足条件，其中 id 为 M 上的恒同映射，则称 ξ 为 M 上的一个 Cr 切向量场，切向量场也常简称向量场。
地球是一个流形 M ， 在1月1日12:00，我们把地球上的每一点处的
风向记下来，画成一张
全球风向图。 一点处的风向就是
切向量， 这张风向图就是切向量场。
这说明
微分几何与
拓扑学有着密切的关系。 上述定理实际上是著名的DeRham上同调的推论。
很多几何概念都可以通过切丛和余切丛来定义。比如
黎曼度量的概念也可以从切丛的局部化上定义，进而得到大范围上的
度量。近复结构也可以利用切丛来定义。