曲线在一点处的切向量可以理解为沿曲线该点处切线方向的向量。

设m为微分流形M中一点，则m点的切向量为m点的光滑函数芽Fm的导子。

光滑曲线c:I→M在t点的切向量定义为，则对φ∈𝓕M，

由导子定义有，对于p∈M，则p点的切向量v:𝓕p(M)→ℝ满足

(1)线性：v(αf+βg)=αv(f)+βv(g)；

(2)导子：v(fg)=f(p)v(g)+g(p)v(f)，

其中α,β∈ℝ，f,g∈𝓕p(M)。

M在m点的切向量的集称为M在m点的切空间。切空间为实线性空间。

设F:N→M为光滑映射，对p∈N，则映射F诱导出切空间的映射F*:TpN→TF(p)M，称为映射于p的微分，定义为

F*(Xp)(f)=Xp(f○F)∈ℝ，则f∈C∞F(p)(M)，其中f为F(p)的函数芽，由F(p)的邻域的C∞函数表示。

在定义切向量之前，首先给出光滑函数的定义。叙述中都将按国际非线性学术界表达惯例，向量将一律用白斜体字母表示。

定义1 设A是 的一个开子集（即A内每点都可找到一个完全属于A的邻域）， 是一个函数。f点z 的值记为 。如果f对 的任意阶偏导数存在且连续，则称函数f是 类函数(function of class )，简称f是一个 函数或称f是一个光滑函数(smooth function)。如果函数f是 的，且对任意指定点 ，存在 的一个邻域U，使对所有 ，f在 的Taylor级数展开式都收敛到 ，则称f是一个 函数或称f 是一个解析函数( analytic function)。

定义2 一流形N上有定义的所有光滑函数的集合，记为 。在流形N上一点p的邻域有定义的所有光滑函数的集合，记为 。

下面对以上定义作一些概念性说明。

(1)流形(manifold)是拓扑学和微分几何中的重要概念。不过，为不涉及过多的数学基础，此处不准备作严格的定义。从概念上说，一个n维流形可理解为由多个同为n维的曲面（或超曲面）经拼接所得到的曲面（或超曲面）。

(2)流形的一个特征是，它的一个局域可以与一个n维欧氏空间之间建立起点与点间的一对一映射关系，它的每个局域可以分别与各自的一个n维欧氏空间之间建立起点与点间的一对一映射关系，并可在此基础上建立起通用于各局域的流形局部坐标系，从而变成可度量的( metrizable)。

(3)具有微分结构的流形被称为微分流形(differential manifold)。这里所说的微分结构，是指参与拼接的曲面（或超曲面）彼此拼接得是如此之好，以至于流形作为一整体与n维欧氏空间之间的映射能达到任意次可微的程度，即达到光滑的程度。因此微分流形也称为光滑流形(smooth manifold)或简称流形。微分流形可理解为是由多个同为n维的光滑曲面（或超曲面）经拼接所得到的光滑曲面（或超曲面），也就是有任意阶导数的n维曲面（或超曲面）。

(4)定义在流形N上的光滑函数 就是定义在流形N的局部坐标系上的函数。对于一个光滑流形而言，其各阶导数都存在。

(5)光滑函数 在某方向上的变化率，一般称为方向导数(directional derivative)。方向导数取值是一实数。算子v表示求方向导数的操作，故其映射关系可表示为 。

(6)求导的方向在函数 的定义域上表示，即指的是流形局部坐标平面（或超平面）上定的方向，而不是指在 曲面的切平面（或超切平面）上定的方向。

切向量和方向导数有密切关系，但这是两个不同的概念。切向量被定义为一个抽象的泛函（算子），指的是 至欧氏空间 的一个映射，而方向导数则指的是该映射的像值。

（流形 上的切向量，切向量和方向导数的差异）设 是定义在 上的 （光滑）函数 在点x的方向导数（即 在定义域一定方向上的坡度或变化率）定义为

式中， 是表示方向的系数。方向可以是给定的方向，也可以是某个体现函数 自身性质的方向。

比如， 在点x的梯度(gradient)被定义为向量

在点x的方向导数在此方向有最大坡度值 ，梯度方向是 上升最陡的方向，所体现的就是函数 自身的性质。

如果把式 改写成

注：其中中的三部分分别为切向量的基底、方向向量、光滑函数，这三部分组成一个切向量；为方向导数。

可见方向导数可拆成三部分。方向导数的前面两部分，即切向量的基底和方向向量合称为切向量。此切向量完全符合切向量定义。

方向的表示方法一般有两种。一种是用方向余弦向量表示，另一种是用方向数向量表示。切向量的方向一般都用后一种表示。方向数向量归一化后等于方向余弦向量。也可以说方向数向量等于方向余弦向量外乘一个常数。该常数表示向量的长度或大小。所以通常所说的方向向量不仅指方向，还可能包括其长度。切向量的方向和大小都是点的函数。在不同点上，不仅方向可能不同，而且外乘的常数（向量的长度）也可能会随之不同。尽管方向数向量有外乘常数，不仅表示方向，但为方便，以后仍将把它们和方向余弦向量一样看待，一律笼统地称为方向向量。