切空间是在某一点所有的切向量组成的线性空间。切空间是微分流形在一点处所联系的向量空间，欧氏空间中光滑曲线的切线、光滑曲面的切平面的推广。切向量是切线的方向向量。对于曲线Γ：x=φ(t)，t∈[a,b]，x∈Rn，当向量φ′(t0)存在且不等于零时，它称为Γ在点φ(t0)处的切向量.φ′(t0)/|φ′(t0)|称为曲线Γ在φ(t0)处的单位切向量。通过φ(t0)且与切向量φ′(t0)平行的直线就是Γ在φ(t0)处的切线。

设V为由根理想生成元F1,...,Fr定义的仿射簇，则V在点p的切空间为线性簇

该切空间与生成元的选取无关。

设M为n维光滑流形，对M上每点p，切空间TpM为n维线性空间。

线性空间亦称向量空间。它是线性代数的中心内容和基本概念之一。设V是一个非空集合，P是一个域。若：

1.在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β，称为α与β的和。

2.在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。

3.加法与纯量乘法满足以下条件：

1) α+β=β+α，对任意α，β∈V.

2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α，β，γ∈V.

3) 存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，元素0称为V的零元.

4) 对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为α的负元素，记为-α.

5) 对P中单位元1，有1α=α(α∈V).

6) 对任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).

7) 对任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.

8) 对任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，

则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间。V中元素称为向量，V的零元称为零向量，P称为线性空间的基域.当P是实数域时，V称为实线性空间.当P是复数域时，V称为复线性空间。例如，若V为三维几何空间中全体向量(有向线段)构成的集合，P为实数域R，则V关于向量加法(即平行四边形法则)和数与向量的乘法构成实数域R上的线性空间。又如，若V为数域P上全体m×n矩阵组成的集合Mmn(P)，V的加法与纯量乘法分别为矩阵的加法和数与矩阵的乘法，则Mmn(P)是数域P上的线性空间.V中向量就是m×n矩阵。再如，域P上所有n元向量(a1，a2，…，an)构成的集合P对于加法：(a1，a2，…，an)+(b1，b2，…，bn)=(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)与纯量乘法：λ(a1，a2，…，an)=(λa1，λa2，…，λan)构成域P上的线性空间，称为域P上n元向量空间。

线性空间是在考察了大量的数学对象(如几何学与物理学中的向量，代数学中的n元向量、矩阵、多项式，分析学中的函数等)的本质属性后抽象出来的数学概念，近代数学中不少的研究对象，如赋范线性空间、模等都与线性空间有着密切的关系。它的理论与方法已经渗透到自然科学、工程技术的许多领域。哈密顿(Hamilton，W.R.)首先引进向量一词，并开创了向量理论和向量计算。格拉斯曼(Grassmann，H.G.)最早提出多维欧几里得空间的系统理论。1844—1847年，他与柯西(Cauchy，A.-L.)分别提出了脱离一切空间直观的、成为一个纯粹数学概念的、抽象的n维空间。特普利茨(Toeplitz，O.)将线性代数的主要定理推广到任意域上的一般的线性空间中。

切向量存在多种定义。直观的讲，如果所研究的流形是一个三维空间中的曲面，则在每一点的切向量，就是和该曲面相切的向量，切空间就是和该曲面相切的平面。通常情形下，因为所有流形可以嵌入欧几里得空间，切空间也可以理解为在该点和流形相切的欧几里得空间的仿射子空间。切空间更好的定义不依赖于这种嵌入，例如，切向量可以定义为通过该点的曲线的等价类，或者是对光滑函数在该点的在某个方向上的求导。但所有这些定义都是等价的。

设M是可微的流形，p是M上一点， p处所有切向量全体张成的线性空间称为M在p处的切空间， 记为Tp(M). 如果p是光滑点，则Tp(M)的维数就是流形M的维数。

切空间是微分流形在一点处所联系的向量空间，欧氏空间中光滑曲线的切线、光滑曲面的切平面的推广。若M是n维微分流形，p∈M，记C∞(p)为在p的某个邻域内有定义的C∞可微函数的集合，则适合下列条件的函数Xp：C∞(p)→R称为M在p处的切向量：

1.对于f，g∈C∞(p)，若存在M中p的某邻域U，使得f|U=g|U，则Xp(f)=Xp(g).

2.对于f，g∈C∞(p)，α，β∈R，有：

这时C∞(p)中函数的运算依定义：

(αf+βg)(q)=αf(q)+βg(q)∈R，当f(q)，g(q)有定义时。

3.对于f，g∈C(p)，有：Xp(f×g)=f(p)Xp(g)+g(p)Xp(f)，

其中f×g是通常函数的乘法，即：(f×g)(q)=f(q)g(q)。

微分流形M在p∈M处的全体切向量的集合记为TpM，对于Xp，Yp∈TpM，α∈R与f∈C∞(p)，设：

因而TpM是实数域R上的n维向量空间，称为微分流形M在p处的切空间。

切空间TpM中切向量的表示：设(U, φ)是M含点p的卡，在U上局部坐标为：

对于i=1，2，…，n，若：

其中(u1，u2，…，un)是Rn中坐标，则：

并且：

是TpM的一组基。此时对于Xp∈TpM，有：