垂径定理_数学几何定理 - 线报百科mbji.cn

垂径定理

数学几何定理

垂径定理是数学平面几何（圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如下图，直径DC垂直于弦AB，则AE等于EB，弧AD等于弧BD（包括优弧与劣弧），半圆CAD等于半圆CBD。

定理定义

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。称为知二得三（知二推三）。

数学证明

如图1 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC于点E，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD

证明：

连接OA、OB分别交⊙O于点A、点B

∵OA、OB是⊙O的半径

∴OA=OB

∵AB⊥DC

∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三线合一）

∴∠AOC=∠BOC

∴弧AC=弧BC

推导定理

推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

几何语言：

∵DC是直径，AE=EB

∴直径DC垂直于弦AB，劣弧AD=劣弧BD，弧AC=弧BC

推论二：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。

几何语言：

∵弧AD=弧BD

∴CD垂直平分AB，弧AC=弧BC

推论三：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。

定理简史

欧几里得（古希腊数学家希腊文：Ευκλειδης. ，公元前330年~公元前275年，）几何原本第I卷中的第12个命题实际即为垂径定理，这可能是最早的有关于垂径定理的记载。

定理意义

垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。

参考资料

最新修订时间：2024-10-08 10:39

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定理定义

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