外尔斯特拉斯定理，即波尔查诺－魏尔施特拉斯定理，是
数学拓扑学与
实分析中用以刻划R^n中的
紧集的基本定理，得名于数学家伯纳德·波尔查诺与
卡尔·魏尔施特拉斯。波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理说明，有限维
实向量空间R^n中的一个
子集E是序列紧致（每个序列都有收敛子序列）当且仅当E是
有界闭集。
这个定理最早由伯纳德·波尔扎诺证明，当他在证明
介值定理时，附带证明了这个定理，但是他的证明已经散佚。
卡尔·魏尔施特拉斯独自发现并证明了这个定理。波尔扎诺-魏尔施特拉斯定理是
实分析中的基本定理。
从这个定理出发，在给定的有界闭集F中任取一个序列，那么这个序列是有界的，从而至少包含一个收敛的子列。而从F的封闭性可知，这个子列作为F的一部分，其收敛的极限必然也在F中。所以可以推知：
这个推论给出了中集合序列紧致的
充分条件。另一方面，可以证明序列紧致的集合必然是有界闭集。这样就将充分条件推进为充要条件：
中的一个
子集E是序列紧致的，当且仅当E是有界闭集。由于有限维赋范向量空间都与装备了欧几里德范数的
同胚，所以以上的定理都可以扩展到任意有限维赋范向量空间。
在有限维度量空间中，波尔查诺－魏尔斯特拉斯说明了序列紧致的集合就是有界闭集。然而在一般的度量空间中，有界闭集不一定是序列紧致的。为此，拓扑学中将一般度量空间中的序列紧致称为波尔查诺－魏尔斯特拉斯性质。
如果度量空间本身满足波尔查诺－魏尔斯特拉斯性质，就称这个度量空间为紧空间。在度量空间中，波尔查诺－魏尔斯特拉斯性质等价于海恩－波莱尔性质：所有K的
开覆盖都
有限子覆盖。