奇异上同调群是一种
上同调群。设(X,A)是空间偶,G是任意交换群。记C(X,A)表示(X,A)的
奇异链复形。定义(X,A)的系数在G中的q维奇异上链群
这里Hom(CQ(X,A),G)表示群C(X,A)到G的全体同态之集,它依照以G中诱导的二元运算成为一个交换群;
上边缘算子于是,C4(X,A;G),qEZ是一个链复形,其q维同调群称为(X,A)的系数在G中的q维奇异上同调群,记为Hq(X,A;G)。系数在交换群G中的奇异上同调满足系数在交换群G中的上同调理论的所有公理。
与奇异同调理论类似,奇异上同调理论也是将每个拓扑空间(偶)联系上一系列交换群,称为上同调群。从纯代数观点看,它的引入似乎更为自然。上同调理论可用于研究流形上的
微分形式。此外,当系数群是一个有单位元的交换环时,上同调群上有一种自然的环结构,即
上同调环,这是同调群上所没有的。