基数亦称势。公理集合论的基本概念之一。是度量集合大小的量。在德国数学家康托尔(Cantor，G.(F.P.))之前，无穷只是一个很模糊的概念，人们无法区分两个无穷集的大小。1873年，康托尔发现自然数集与实数集之间不存在一一对应的关系，由此意识到可以用一一对应作为度量无穷集合大小的尺度。他把集合的大小称为集合的势。

奇异基数(singular cardinal number)是一种无穷基数。无穷基数可按共尾度的性质分成两大类：正则基数和奇异基数。若cf(ωα)<ωα，则无穷基数α称为奇异的；若cf(ωα)=ωα，则α称为正则的。即对无穷基数κ，若存在递增的超穷序列〈αυ|υ<θ〉，其中αυ是序数且αυ<κ，该序列的长度θ是小于κ的极限序数，使得：

则κ称为奇异基数。不是奇异的无穷基数称为正则基数。所有后继基数都是正则基数，奇异基数都是极限基数，例如：ω，　ω+ω，ω1等都是奇异基数。存在任意大的奇异基数，如α+ω。

基数亦称势。公理集合论的基本概念之一。是度量集合大小的量。在德国数学家康托尔(Cantor，G.(F.P.))之前，无穷只是一个很模糊的概念，人们无法区分两个无穷集的大小。1873年，康托尔发现自然数集与实数集之间不存在一一对应的关系，由此意识到可以用一一对应作为度量无穷集合大小的尺度。他把集合的大小称为集合的势，记为x‘’，x为一集合。并且他定义，若集合A与集合B之间可建立一一对应关系，则称A与B等势，记为A≈B。然而康托尔对势没有作非常严格的定义，而将集合的势定义为从集合中抽去元素特性及顺序特性得出的一般概念。德国数学家、数理逻辑学家弗雷格(Frege，(F.L.)G.)与英国数理逻辑学家罗素(Russell，B.A.W.)将集合的基数(势)定义为在等势关系下该集合所在的等价类。这一定义虽然比较严格，但这样定义的基数不是ZF公理集合论中集合的基数。在ZF公理集合论中，按如下方法定义集合x的基数|x|：

1.若x是可良序化的，则定义|x|为最小的与x等势的序数。

2.若不然，则定义|x|为与x等势的真类中所有具有最小秩的元素的全体所组成的集合。

如果某个集合的基数是a，则如此定义的基数满足|x|=|y|，当且仅当x≈y。定义1是由美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼(von Neumann，J.)于1928年引入的；定义2则是上述弗雷格与罗素思想的翻版。如果存在从集合x到y的单射，则定义|x|≤|y|。如果|x|≤|y|且|y|≤|x|，则|x|=|y|。这就是著名的康托尔-伯恩施坦定理.对于任意的集合x和y，有|x|≤|y|或者|y|≤|x|，当且仅当选择公理成立。可良序化的集合的基数称为良序基数。每一个良序基数都是序数。因此，若设定某一选择公理，则每一个基数都是序数。对任意的序数α，存在大于α的最小良序基数，记为α。由此可见，所有的良序基数构成序数全域的一个无界的子类，即为真类。因此，可以定义一个从序数全域到所有无穷良序基数构成的真类上的保序映射，使得ᗄα<β((α)<(β))，式中读做“阿列夫”。还常用α代替(α)，表示第α个无穷良序基数，用ωα表示α的序型，故0=ω0=ω，α+1=ωα+1=α。若α为极限序数，则α=ωα=sup{ωρ|ρ∈α}。α是极限基数，当且仅当α是极限序数。

不可数基数是一种无穷基数。不可数集的基数统称为不可数基数。一个无穷集合，如果不与自然数集等势，它就具有不可数基数。例如实数集R的基数、R的幂集P(R)的基数都是不可数基数。不可数基数有无穷多个等级。因为根据著名的康托尔定理：对任何基数a，a<2，故可得：

一种特殊基数。如果α为极限序数，且cf(α)=α，则称α为正则的。正则的基数称为正则基数。不正则的无穷基数称为奇异基数。由于正则的序数一定是基数，故人们对正则的序数、正则序数、正则的基数和正则基数这几个概念不加区别地使用。通常也有人将ω称为正则基数，将α+1称为正则序数。正则性是基数的重要概念之一，它由德国数学家豪斯多夫(Hausdorff，F.)于1908年引入。关于正则基数的性质曾引申出许多重要的集合论命题，其中最重要的问题是：是否能在ZF系统中证明存在大于ω的正则基数?一方面，由选择公理知，1，2，…，α+1都是大于ω的正则基数。另一方面，以色列集合论学家吉帖克(Gitik，M.)于1979年在假定存在某种大基数真类的情况下，证明了不存在大于ω的正则基数，也是和ZF系统相容的。

数理逻辑的主要分支之一，是用公理化方法处理朴素集合论的内容的理论，更重要的，是研究集合论的元数学性质——集合论的模型、各公理的关系、各系统之间的关系、各种不可判定语句以及集合论公理化过程中所提出的种种新方法和新问题的理论。

1908年，策梅罗提出了第一个集合论公理系统，旨在避免集合论中的悖论。20世纪20年代，弗伦克尔和斯科朗加以改进和补充，得到常用的策梅罗一弗伦克尔公理系统，简记为ZF。这是一个建立在有等词和属于关系的一阶谓词演算之上的形式系统。它的非逻辑公理有：外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、替换公理模式、正则公理。如果另加选择公理(AC)，则所得到的公理系统简记为ZFC。

已经证明，ZF对于发展集合论是足够的，它能避免已知的集合论悖论，并在数学基础研究中提供一种方便的语言和工具。在ZF中，几乎所有的数学概念都能用集合论语言来表达。数学定理也大都可以在ZFC系统内得到形式证明。因而作为整个数学的基础，ZFC是完备的。数学的无矛盾性可归结为ZFC的无矛盾性。

由哥德尔的不完全性定理可知，如果ZF是无矛盾的，则在ZF中不能证明自身的无矛盾性。所以，在公理集合论中只考虑相对无矛盾性问题，解决的方法是构造模型，常用的三种方法是：内模型法，外模型法(力迫方法)，对称模型法。1938年，哥德尔证明了CH对于ZFC的相对无矛盾性，用的就是内模型法。1963年，科恩创立外模型法，证明了CH相对于ZF的独立性。

公理集合论的一个研究领域是由朴素集合论中对无限组合问题的研究发展而来的组合集合论。另一个研究领域是描述集合论(解析理论)，主要探讨划分层次(级)后的实数子集的结构性质问题。在研究这两个领域的许多问题时，都要用到ZF(或ZFC)以外的附加假设(公理)才能判定。常用的附加假设有：可构成公理，各种大基数公理以及与AC不相容的决定性公理等。

1938年，哥德尔提出了可构成公理，20世纪60—70年代，这一公理得到重视和发展。大基数公理虽然早已提出(在ZF+大基数公理(即“存在一大基数”)的公理系统中，可以证明ZF是无矛盾的)，但直到20世纪60年代以后才作为公理集合论某一领域的附加假设使用。几乎每一种大基数都是ω的某种性质向不可数基数的推广。可构成性、大基数和力迫方法(外模型法)已成为当代公理集合论研究的三大主流，它们又是三种重要的工具。随着无限对策的产生和对策论在数学各分支中的渗透，决定性公理也日益受到重视。