设F是任意域；以0，1分别表示它的零元和乘法单位元。若-1不能表作F中的平方和，就称F为实域（或者形式实域）。常见的有理数域Q和实数域R，都是这个意义下的实域；但复数域C以及有限域，都不是实域。

实域(real field)亦称形式实域，是与序域密切相关的一种域。一个域F，若在其中不存在形式如

的等式，此处 ，则称F是实域(或者形式实域)。序域都是实域，反之，实域一定是可序域。因此，序域理论就是实域理论。实域理论是阿廷(Artin，E.)和施赖埃尔(Schreier，O.)于1926年首先建立的，阿廷在这一理论的基础上，成功地正面解答了希尔伯特第17问题，实域理论又是近20年来蓬勃兴起的实代数几何的基础。

对于F中任何子集P，今规定以下记法

定义1 设P为F的子集，如果满足条件：

(1) ；

(2) ； （1）

(3) ，

则称P是F的一个正锥。

当P是F的正锥时，从上述条件不难得知 ；以及对于任何 ，皆有 。从F的正锥P，可以定出F中一个二元关系 如下：

当且仅当 （2）

从(1)式可知 应满足以下的条件：

(1) ；

(2) 对于任何二元素 ，必有 ，或者 ；

(3) 由 和 ，得到 ； （3）

(4) 由 和 ，得到 ；

(5) 由 有 ；

(6) 由 和 ，得到 。

当 与 同时成立时，我们简记作 。

如果以P记 ，则 当且仅当 。

我们称≤为P所定的序关系。一般而言，任何一个定义在F上，且满足(3)的二元关系≤，都可称作F的序关系。当给定了F的一个序关系≤，我们也可以反过来在F上定出正锥。令

容易验知，这个P满足(1)的条件，所以是个正锥；而且，由它所定的序关系 ，正是事先所给的≤。这个事实表明，域的正锥和序关系，二者是可以相转换的。因此我们说，正锥P或者序关系 ，给出F的一个序；而且我们迳用P同时表示正锥和由它给定的序（有时也用序关系的符号≤）。

一个在其中可以定出序的域，称作可序的，或者可序域，可序域一般可以有许多序，当我们特别取定F的某个序P时，就称F为序域，记以(F，P)，或者(F，≤)。在可序域中，不同的序之间，不存在集包含关系（作为正锥而言）。这是下述引理所指出的：

引理1 设 是F的两个序，若有 ，则应用 。

命题1 可序域必定是实域；可序域的特征只能是0。

为了进一步阐明可序域与实域的关系，现在再引进一个概念：

定义2 设Q是F的一个子集。若有：

(1) ；

(2) ； （4）

(3) ；

则称Q是F的一个亚正锥，或者说，Q给出F的一个亚序。

以下为简便计，也迳称Q为F的亚序；此时又称 为一个亚序域。从定义立即知道 ；并且，亚序域是实域，反之，当F是实域时， ；此时 ；满足条件(4)。因此， 是F的一个亚序，又按集包含关系， 是最小的亚序，所以也称作F的弱亚序。实域，可以作为亚序域 。

与序的情形不同，在实域的亚序之间，可以有集包含关系存在，今有：

引理2 F中按集包含关系的极大亚序，就是F的一个序。

当F是实域时，它有弱亚序，通过Zorn引理的论断，F有极大亚序，再按上述引理，就得到：

命题2 实域一定是可序的。

由命题1和2，即得：

定理1 F成为实域，当且仅当F是个可序域。

引理2 尚可作进一步的强化如下：

引理3设(F，Q)是个亚序域， 。于是存在F的某个序P，使得有 ，以及 。

我们称满足 的序P为亚序域(F，Q)的一个序，从上述引理立即得到：

定理2 对于亚序域(F，Q)，等式

成立，其中P遍取(F，Q)所有的序。

由于实域F可作为亚序域 ，故有

推论（阿廷定理） 对于实域F，等式

成立，其中P取遍F所有的序。

在序域(F，P)中，可以引入一些与通常相类似的概念，对于元素 ，今规定它的绝对值，如下

我们称为(F，P)中的正元素；为负元素。对于亚序域(F，Q)，据定理2，元素属于(F，Q)的每个P。因此，可称它为(F，Q)的全正元。特别在F为实域时，它的全正元是属于每个正锥的非零元，此时阿廷定理可以陈述如下：实域F中的元素，成为F的全正元，当且仅当a可表示成F中的平方和。

最后还应指出，(6)的左边对于任何域都是有意义的。如果F不是实域，同时它有特征≠2，则任何都可以表如

由于F不是实域，应有，以此代入上式，得到a的一个平方和表式，即。

把序和亚序的概念推广到交换环上，现在设A是一个带有单位元素1的交换环；以记A中由所有的有限平方和所成的子集，与域的情形一样，我们称A中满足定义2的子集Q为A的一个亚正锥，或者迳称作A的亚序，当时，本身就是A的一个亚序。这个亚序也称作A的弱亚序，就环的情形而论，今有一个与引理2相类似的结论：

引理4 对于A的任何一个给定的亚序 ，必然存在亚序Q，满足 ，以及

这里J是A的一个素理想。

根据这个引理，我们把满足上式的亚序称作交换环A的序；又称素理想J为序Q的支柱，记作 。于是得到了：

命题3 交换环A的任何一个亚序，都可以扩大成序，其支柱是A中的素理想。