对偶元素是射影几何的一个术语，指射影几何中元素间的一种特殊关系。在欧氏几何中，几何图形是点的轨迹，是把点作为图形基本元素，而射影几何认为图形可看成是直线的包络。直线作为点的对偶元素，也是一种基本元素，从而有了线坐标。

绝大多数人所熟悉的几何学仍然是公元前300年左右古希腊Euclid建立的欧氏几何学而射影几何学则是得益于作画写生时透视聚焦方法的启示。从十七世纪开始，几何学家在研究投影和截面取景时的方法和结果，大大地丰富了欧氏几何的内容，并逐渐认识到这是几何学一个新的分支，称之为射影几何学。

射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。也叫投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一个特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。

射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。

对偶元素（dual elements）是射影几何的一个术语。指射影几何中元素间的一种特殊关系。在射影平面上，点与直线互为对偶元素；在三维射影空间中，点与平面互为对偶元素，直线的对偶元素仍是直线。

在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。这两个图形叫做对偶图形。在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。这两个命题叫做对偶命题。在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立。

对偶图形（dual figures），具有特定关系的两个图形。指成对偶对应的几何图形。射影几何中一个图形与把其中的各个几何元素换成对偶元素，把其中的各个运算换成对偶运算而得到的另一个图形间的关系。

例如，在射影平面上，把由点和直线所组成的一个图形中的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，其结果形成另一个图形，这两个图形称为对偶图形。又如在三维射影空间中，把由点、直线和平面所组成的一个图形中各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，其结果形成另一个图形，这两个图形称为空间中的对偶图形。

对偶命题是具有特定关系的两个命题，指成对偶对应的几何命题。射影几何中一个命题与把其中的各个几何元素换成对偶元素，把其中的各个运算换成对偶运算而得到的另一个命题间的关系。例如，在射影平面上，设有点、直线及其相互接合关系所构成的一个命题，将此命题中的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，其结果形成另一个命题，这两个命题称为平面上的对偶命题。又如，在三维射影空间中，设有点、直线、平面及其相互接合关系所构成的一个命题，将此命题中的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，其结果形成另一个命题，则这两个命题称为三维空间中的对偶命题。

对偶原理在射影几何中有重要地位，证明一个定理的同时也就证明了它的对偶定理，因此可以事半功倍。注意：对偶原则是射影几何所特有的，它只适用于几何元素的结合与顺序关系的命题，而不能应用于度量关系。

在欧氏几何里，认为几何图形是点的轨迹，是把点作为图形基本元素。射影几何里认为图形也可看成是直线的包括直线的包络。作为点的对偶元素，也是一种基本元素，从而有了线坐标。

在点线的结合方程里，不同情况下可表示为点的方程或直线的方程，就是说点和直线具有同等的地位，或者说它们是完全对称的。于是，由代数推导得出的关于点的几何图形的性质对于对偶的线的几何图形应该同样具有；反之，关于线的几何图形的性质，对于对偶的点的图形也成立，这就是它们间的代数对偶性。

射影几何的对偶原则导致了一种利用对偶性完成命题证明的方法，即当我们不容易直接解决某命题时，可以考虑它的对偶命题，当对偶命题得到解决时，原命题也就解决了。这种方法与证明逆否命题来完成原命题的证明是类似的。