如果有两个系统Σ和Σ*，Σ的输入系数矩阵等于Σ*的输出系数矩阵的转置，Σ的输出系数矩阵等于Σ*的输入系数矩阵的转置，Σ的状态转移矩阵等于Σ*的状态转移矩阵的转置的逆，那么，系统Σ的状态可控性必定等价于系统Σ*的状态可观性，系统Σ的状态可观性必定等价于系统Σ*的状态可控性满足上述关系的两个系统Σ和Σ*互为对偶系统。

考虑线性时变系统：

其中， 为n维状态向量， 为p维输人向量， 为q维输出向量。 、 、 和 分别为 和 时变矩阵。

定义1 对于线性时变系统(1)，根据系统矩阵构造如下形式的时变系统：

其中， 为n维状态向量， 为q维输入向量。 为p维输出向量。称系统(2)为系统(1)的对偶系统。

下面介绍原线性系统与其对偶系统之间具有的属性。

系统结构图的对偶性

对偶系统的结构图如概述图所示。从概述图中可看出，互为对偶的系统在结构上，如信号流向、状态、输入和输出的作用点、求和点位置等呈现对偶属性。如果称结构图左部的量为“输入量”，结构图右部的量为“输出量”，则图1(a)表示用“输入量”控制“输出量”，是一个控制问题；图1(b)表示用“输出量”求得“输入量”，是一个估计问题。因此，对偶性原理揭示了最优控制和最优估计之间的内在联系。

对偶系统的线性属性和时变属性

若原系统(1)为线性系统，则其对偶系统(2)也为线性系统；若原系统(1)为时变(或定常)系统，则其对偶系统(2)也为时变(或定常)系统。

状态转移矩阵的对偶性

原线性系统(1)的状态转移矩阵为 ，其对偶系统(2)的状态转移矩阵为 ，则由状态转移矩阵的性质可知，两者之间存在如下的关系：

时序的对偶性

若原线性系统(1)的运动是状态点在状态空间中，由至正时向转移，则其对偶系统(2)的运动是状态点在状态空间中，由至反时向转移。

参数矩阵的对偶性

若记原线性系统与其对偶系统分别为和，则原线性系统与其对偶系统的参数矩阵之间具有如下对应关系：

系统矩阵=一系统矩阵的转置，

输入矩阵=输出矩阵的转置，

输出矩阵=输入矩阵的转置。

若系统和系统互为对偶，且系统的传递函数矩阵为，系统的传递函数矩阵为，则有

也就是说，互为对偶的系统其传递函数阵是互为转置的。

由于

所以还可以看出，互为对偶的系统其特征方程是相同的。