对射变换(correlation)是一种基本射影变换。指平面上点与直线或直线与点间的一一对应。图形在射影变换下不变的性质和量称为射影性质和射影不变量；研究图形的射影性质的几何分支就是射影几何学。例如结合性、分离性是基本射影性质，交比是基本射影不变量。

对射变换(correlation)是一种基本射影变换。指平面上点与直线或直线与点间的一一对应。平面到自身的对射变换由下列关系式确定：

其中(xi)是平面上点的射影坐标，(u′i)是与(xi)对应的直线的线坐标。

在欧氏平面上，对于“一组有定方位的一切直线”添加一个点称为该方位的无穷远点，此点在该组中的每一直线上，而不在这组以外的直线上;为了区分，以前所见的点称为有穷点;由于不同方位的直线有不同的无穷远点，这样，平面上一切无穷远点的集合组成一条直线称为无穷远直线，以前所见的直线称为有穷直线； 一组平行平面相交于一条无穷远直线。空间内一切无穷远点的集合组成一个平面称为无穷远平面，以前所见的平面称为有穷平面。无穷远点、无穷远直线、无穷远平面统称之为无穷远元素。

在欧氏平面上添加了一个无穷远点后，得到一条新的直线，我们将它称为仿射直线;如果把仿射直线上的有穷点和无穷远点等同看待而不加区分，则这条直线就称为射影直线(如图1)。欧氏直线a上添加一个无穷远点，记作P∞，就得到一条仿射直线;反过来，如果将射影直线上某一定点认为是无穷远点，而将其余点定为有穷点，即得到一条仿射直线，仿射直线上有穷点和无穷远点不加区分就是一条射影直线，故得射影直线可看作是封闭的，欧氏平面上的圆，常可以作为射影直线的模型。

仿此，在欧氏平面上，添加一条无穷远直线，记作l∞，即得到一个仿射平面，在仿射平面上有穷、无穷不加区分就是射影平面(二维射影空间)： 反之，如将射影平面内去掉一条直线就转到欧氏平面了。在欧氏三维空间，添加一个无穷远平面，记作π∞，即得到仿射空间，仿射空间内有穷、无穷不加区分就是射影空间。在射影空间里，任何两条直线、一直线与一个平面至少有一个交点;任何两个平面必相交于一条直线，任意两点决定一条直线; 任意不共线的3点必决定一个平面，任意不共线的3个平面必恰有一个交点。由上面的结论可以看出，结合关系是射影平面和射影空间的基本关系。点在直线上与直线通过点有完全的对称性，也就是使得点和直线在逻辑上取得平等的地位，它们称为平面上的对偶元素，我们把平面上一个以点和直线构成的图形，把其中的点和直线互换就得到一个新的图形称为已知图形的对偶图形，如平面内 “在一直线上一切点的集合” 称为以该直线为底的点列和平面内 “通过同一点的一切直线的集合”称为以定点为中心的线束，二者互为对偶图形。在一个平面上，一切点的集合称为点场和一切直线的集合称为线场，点场和线场也是平面对偶图形; 平面上，一个只涉及点和直线结合关系的命题，如果将其中的点和直线及其结合关系对换得到一个新命题，称之为原命题的对偶命题。若原命题成立，则其对偶命题也成立，这就是射影几何里的对偶原理。在空间，点和平面是对偶元素，直线是自对偶元素，空间通过同一直线的所有平面的集合称为面束，它与点列是空间对偶图形，线束是自对偶图形。

设在射影平面上(如图2)，两直线l及l′，S是不在l及l′上的点，P是l上的任一点，则SP必交l′于一点P′，称P′是点P从S投射到l′的中心投影，S称为射心，SP称为射线。显然，P点也是P′在l上的中心投影，我们把二射影直线上的点经中心投影所建立的一一对应称为点列间的透视对应，同样可以建立两个射影平面π和π′间的透视对应，称为点场间的透视对应，射心则称为透视中心;透视对应保持同素性、结合性不变。设共线4点P1、P2、P3、P的对应点分别为P′1、P′2、P′3和P′ (如图3)，则有：

称：

为共线4点P1、P2、P3、P的交比，其中P1、P2为基点偶，P3、P为分点偶，P1、P2、P3、P4点的交比记作(P1P2，P3P)，即：

(其中线段均为有向线段)。容易看出，当P3、P两点均属于或均不属于线段P1P2时，则交比为正，这时我们说点偶P1、P2不分离点偶P3、P;在另一种情形，则说点偶P1、P2分离点偶P3、P，此时交比为负。故说透视对应保持分离性不变，交比是透视对应下基本不变量。

两点列l(x)到l′(x′)的点之间的一个一一对应，使l上任意4点的交比与l′上对应4点的交比相等，则此一一对应称为点列l(x)到l′(x′)的射影对应；当两个点列的底重合时，称为点列的射影变换或一维射影变换。

两点场π(x)及π′(x′)的点间的一个一一对应，满足以下条件：(1)π(x)上共线3点仍变为共线3点。(2)共线4点的交比不变。则此一一对应称为点场π(x)到点场π′(x′)的射影对应，当两点场的底重合时，称为点场的射影变换或二维射影变换。

由此可得点列的射影变换，就是把点列l(x)上的任意一点经过有限次的透视对应，最后仍变到点列l(x)上的点的一个变换;点场的射影变换，就是把点场π(x)上的点经过有限次的透视对应最后仍变到π(x)上的点的一个变换。根据对偶原则，还有线束的射影变换，它也是一维射影变换；线场的射影变换，它是二维射影变换等等。

射影变换的乘积是射影变换，射影变换之逆是射影变换，所以一切射影变换的集合构成一个群，称为射影变换群，简称为射影群。

图形在射影变换下不变的性质和量称为射影性质和射影不变量；研究图形的射影性质的几何分支就是射影几何学。例如结合性、分离性是基本射影性质，交比是基本射影不变量。

整体几何最基本的研究对象之一。射影空间的概念最初产生于古典射影几何。对于射影定理中的奇异情形(即有些直线相互平行的情形)，为方便起见引入无穷远点的概念，即规定平面上每条直线上有一个无穷远点，两条直线平行就是相交于无穷远点，所有无穷远点组成一条无穷远直线。这种构造方法还可以推广到高维空间，建立n维(实)射影空间PR。在n维射影空间中常采用齐次坐标(X0∶X1∶…∶Xn)，其中X0，X1，…，Xn不全为0;若a≠0，则(aX0∶aX1∶…∶aXn)与(X0∶X1∶…∶Xn)表示同一个点。因此n维(实)射影空间同构于(R-{0})/R.进一步的研究表明PR是紧致解析流形。若令Ui(0≤i≤n)为PR中坐标Xi≠0的点全体，则UiR，且U0，U1，…，Un组成PR的一个开覆盖。上述构造方法可以推广到任意体K上，建立K上的n维射影空间PK.在概形理论中，还将射影空间建立在整数环Z上，即建立射影概形PZ。由此对任意概形X可以建立PX，它是X和PZ(在Spec Z上)的纤维积。特别地，若X=Spec K(K为域)，则PX=PK。

由于射影空间的性质非常丰富难以全面列举，仅举数例如下：

1.PR同胚于圆，PC可看做添上无穷远点的复平面，同胚于球面。

2.PR是单侧曲面，可以同胚地嵌入四维空间R，但不能同胚地嵌入三维空间R，PC是代数极小曲面。

3.PC是克勒流形，它的闭解析子空间都是代数的。

4.对任意域k，Pk是齐性空间，其切丛由整体向量场生成，其自同构群为射影群PSL(n+1，k)，其皮卡群Pic(Pk)Z。