对角映射
标准内射的和
对角映射(diagonal mapping)是标准内射的和。在数学里,映射是个术语,指两个元素的之间元素相互“对应”的关系,为名词。映射,或者射影,在数学及相关的领域经常等同于函数。 基于此,部分映射就相当于部分函数,而完全映射相当于完全函数。
定义
对角映射(diagonal mapping)是标准内射的和。设E,F是特征不为2的域K上的向量空间
是标准内射。若E=F,则称Δ=i1+i2: E→E⊕E是对角映射。记Δ在外代数上的诱导同态为Δ:∧(E⊕E)→∧E,其中E为E的对偶空间,∧(E⊕E)∧E∧E(表示代数的反可换张量积),从而有u∧v=Δ(uv),u,v∈∧E。因此,Δ即∧E的结构映射。
结构映射
结构映射是一类特殊的映射。刻画代数中乘法或赋予向量空间一个乘法的映射。若A是一个代数,乘法A×A→A确定一个线性映射μA:AA→A,使μA(xy)=xy,μA则称之为结构映射。若A是一个向量空间,μA:AA→A是一个线性映射,定义xy=μA(xy),则在A中诱导一个乘法,使A成为一个代数。这表明在A的乘法与结构映射之间存在一个一一对应。
映射
在数学里,映射是个术语,指两个元素的之间元素相互“对应”的关系,为名词。映射,或者射影,在数学及相关的领域经常等同于函数。 基于此,部分映射就相当于部分函数,而完全映射相当于完全函数。
两个非空集合A与B间存在着对应关系f,而且对于A中的每一个元素x,B中总有有唯一的一个元素y与它对应,就这种对应为从A到B的映射,记作f:A→B。其中,b称为元素a在映射f下的象,记作:b=f(a)。a称为b关于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合称为映射f的值域,记作f(A)。
或者说,设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射。
映射,或者射影,在数学及相关的领域还用于定义函数。函数是从非空数集到非空数集的映射,而且只能是一对一映射或多对一映射。
映射在不同的领域有很多的名称,它们的本质是相同的。如函数,算子等等。这里要说明,函数是两个数集之间的映射,其他的映射并非函数。一一映射(双射)是映射中特殊的一种,即两集合元素间的唯一对应,通俗来讲就是一个对一个(一对一)。
注意:(1)对于A中不同的元素,在B中不一定有不同的象;(2)B中每个元素都有原象(即满射),且集合A中不同的元素在集合B中都有不同的象(即单射),则称映射f建立了集合A和集合B之间的一个一一对应关系,也称f是A到B上的一一映射。
向量空间
向量空间又称线性空间,是线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后,使许多问题的处理变得更为简洁和清晰,在此基础上的进一步抽象化,形成了与相联系的向量空间概念。譬如,实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间,在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后,也构成向量空间,研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。
向量空间它的理论和方法在科学技术的各个领域都有广泛的应用。
设V是一个非空集合,P是一个域。若:
1.在V中定义了一种运算,称为加法,即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β,称为α与β的和。
2.在P与V的元素间定义了一种运算,称为纯量乘法(亦称数量乘法),即对V中任意元素α和P中任意元素k,都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα,称为k与α的积。
3.加法与纯量乘法满足以下条件:
1) α+β=β+α,对任意α,β∈V。
2) α+(β+γ)=(α+β)+γ,对任意α,β,γ∈V。
3) 存在一个元素0∈V,对一切α∈V有α+0=α,元素0称为V的零元。
4) 对任一α∈V,都存在β∈V使α+β=0,β称为α的负元素,记为-α。
5) 对P中单位元1,有1α=α(α∈V)。
6) 对任意k,l∈P,α∈V有(kl)α=k(lα)。
7) 对任意k,l∈P,α∈V有(k+l)α=kα+lα。
8) 对任意k∈P,α,β∈V有k(α+β)=kα+kβ,
则称V为域P上的一个线性空间,或向量空间。V中元素称为向量,V的零元称为零向量,P称为线性空间的基域。当P是实数域时,V称为实线性空间。当P是复数域时,V称为复线性空间。例如,若V为三维几何空间中全体向量(有向线段)构成的集合,P为实数域R,则V关于向量加法(即平行四边形法则)和数与向量的乘法构成实数域R上的线性空间。又如,若V为数域P上全体m×n矩阵组成的集合Mmn(P),V的加法与纯量乘法分别为矩阵的加法和数与矩阵的乘法,则Mmn(P)是数域P上的线性空间。V中向量就是m×n矩阵。再如,域P上所有n元向量(a1,a2,…,an)构成的集合P对于加法:(a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn)=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)与纯量乘法:λ(a1,a2,…,an)=(λa1,λa2,…,λan)构成域P上的线性空间,称为域P上n元向量空间。
线性空间是在考察了大量的数学对象(如几何学与物理学中的向量,代数学中的n元向量、矩阵、多项式,分析学中的函数等)的本质属性后抽象出来的数学概念,近代数学中不少的研究对象,如赋范线性空间、模等都与线性空间有着密切的关系。它的理论与方法已经渗透到自然科学、工程技术的许多领域。哈密顿(Hamilton,W.R.)首先引进向量一词,并开创了向量理论和向量计算。格拉斯曼(Grassmann,H.G.)最早提出多维欧几里得空间的系统理论。1844—1847年,他与柯西(Cauchy,A.-L.)分别提出了脱离一切空间直观的、成为一个纯粹数学概念的、抽象的n维空间。特普利茨(Toeplitz,O.)将线性代数的主要定理推广到任意域上的一般的线性空间中。
参考资料
最新修订时间:2022-09-24 13:21
目录
概述
定义
结构映射
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