射影不变量(projective invariant)是射影变换的一种特征。指图形经过任何射影对应(变换)都不变的量。射影变换是射影几何中最重要的几何变换。这种变换的主要特点是保持结合性。例如，点与直线及点与平面的结合性等。交比是射影几何中最基本的不变量，其他不变量都可以用交比表示出来。

射影不变量(projective invariant)是射影变换的一种特征。指图形经过任何射影对应(变换)都不变的量。射影不变量也是一种射影性质。例如，交比就是最基本的射影不变量，同时也是最重要的射影性质。

亦称投影几何。几何学的一个分支。主要研究图形在射影对应(射影变换)下不变的几何性质。射影变换是射影几何中最重要的几何变换。这种变换的主要特点是保持结合性。例如，点与直线及点与平面的结合性等。交比是射影几何中最基本的不变量，其他不变量都可以用交比表示出来。

射影几何的思想，特别是其中的透视投影原理，早在古罗马时代已为画家所认识和应用；射影几何的基本不变量——交比，早已为帕普斯((A).Pappus)所熟知；射影几何的一些命题也早已为古代几何学家所得到。然而，射影几何作为几何学的一个独立分支学科却是在19世纪初期，随着几何学的发展以及绘画与建筑的需要而形成和发展起来的。1822年，彭赛列(J.-V.Poncelet)发表了射影几何的第一部系统著作《论图形的射影性质》一书。他通过几何方法引进无穷远元素，研究了二次曲线和二次曲面的配极理论，并由此导出一般的对偶原理。稍后，施泰纳(J.Steiner)研究了利用简单图形产生较复杂图形的方法，并于1832年引进了线素二次曲线概念。1847年，冯·施陶特(K.G.C.von Staudt)通过几何作图来建立直线上点的坐标，进而使交比与射影坐标不依赖于任何度量。此外，他还以精巧的方法给出虚元素的几何解释。与此同时，运用解析法研究射影几何也有了长足的发展。首先是默比乌斯(Mo¨bius，A.F.)创立了一种齐次坐标，揭示了对偶原理与配极之间的关系，并于1827年对交比的概念给出了完善的处理。接着，普吕克(J.Plücker)引进了另一种齐次坐标，得到了平面上无穷远线的方程和无穷远圆点的坐标。他还引入了线坐标的概念，于是从代数观点自然就得到对偶原理，并得到一般线曲线的概念。在19世纪前半叶的几何研究中，综合法与解析法的争论非常激烈。一些几何学家坚持运用综合法，如彭赛列、施泰纳等。综合法也确实有它独特的优点，它形象鲜明，使有些问题的论证直接而简洁。由于他们的努力，使综合射影几何形成了一个优美的体系。1882年，帕施(M.Pasch)建立了第一个射影几何演绎体系。1872年，克莱因((C.)F.Klein)利用变换群的观点把各种几何学联系起来，他在埃尔朗根纲领中提出了这个观点，并把几种经典几何看做是射影几何的子几何，使这些几何之间的关系变得更加明朗。

1899年，希尔伯特(D.Hilbert)发表了《几何基础》一书，开创了现代公理化方法。此后逐渐出现了各种几何学的公理体系。由于数学家们的共同努力，到19世纪末，射影几何的观点与方法已渗透到各个几何领域之中，使得欧几里得几何，罗巴切夫斯基几何和黎曼几何等联成一个统一的整体。同时，射影几何还在航空、摄影和测量等方面有着广泛的应用。

在欧氏平面上，对于“一组有定方位的一切直线”添加一个点称为该方位的无穷远点，此点在该组中的每一直线上，而不在这组以外的直线上；为了区分，以前所见的点称为有穷点；由于不同方位的直线有不同的无穷远点，这样，平面上一切无穷远点的集合组成一条直线称为无穷远直线，以前所见的直线称为有穷直线；一组平行平面相交于一条无穷远直线。空间内一切无穷远点的集合组成一个平面称为无穷远平面，以前所见的平面称为有穷平面。无穷远点、无穷远直线、无穷远平面统称之为无穷远元素。

在欧氏平面上添加了一个无穷远点后，得到一条新的直线，我们将它称为仿射直线;如果把仿射直线上的有穷点和无穷远点等同看待而不加区分，则这条直线就称为射影直线(如图1)。欧氏直线a上添加一个无穷远点，记作P∞，就得到一条仿射直线;反过来，如果将射影直线上某一定点认为是无穷远点，而将其余点定为有穷点，即得到一条仿射直线，仿射直线上有穷点和无穷远点不加区分就是一条射影直线，故得射影直线可看作是封闭的，欧氏平面上的圆，常可以作为射影直线的模型。

仿此，在欧氏平面上，添加一条无穷远直线，记作l∞，即得到一个仿射平面，在仿射平面上有穷、无穷不加区分就是射影平面(二维射影空间)： 反之，如将射影平面内去掉一条直线就转到欧氏平面了。在欧氏三维空间，添加一个无穷远平面，记作π∞，即得到仿射空间，仿射空间内有穷、无穷不加区分就是射影空间。在射影空间里，任何两条直线、一直线与一个平面至少有一个交点;任何两个平面必相交于一条直线，任意两点决定一条直线; 任意不共线的3点必决定一个平面，任意不共线的3个平面必恰有一个交点。由上面的结论可以看出，结合关系是射影平面和射影空间的基本关系。点在直线上与直线通过点有完全的对称性，也就是使得点和直线在逻辑上取得平等的地位，它们称为平面上的对偶元素，我们把平面上一个以点和直线构成的图形，把其中的点和直线互换就得到一个新的图形称为已知图形的对偶图形，如平面内 “在一直线上一切点的集合” 称为以该直线为底的点列和平面内 “通过同一点的一切直线的集合”称为以定点为中心的线束，二者互为对偶图形。在一个平面上，一切点的集合称为点场和一切直线的集合称为线场，点场和线场也是平面对偶图形; 平面上，一个只涉及点和直线结合关系的命题，如果将其中的点和直线及其结合关系对换得到一个新命题，称之为原命题的对偶命题。若原命题成立，则其对偶命题也成立，这就是射影几何里的对偶原理。在空间，点和平面是对偶元素，直线是自对偶元素，空间通过同一直线的所有平面的集合称为面束，它与点列是空间对偶图形，线束是自对偶图形。

设在射影平面上(如图2)，两直线l及l′，S是不在l及l′上的点，P是l上的任一点，则SP必交l′于一点P′，称P′是点P从S投射到l′的中心投影，S称为射心，SP称为射线。显然，P点也是P′在l上的中心投影，我们把二射影直线上的点经中心投影所建立的一一对应称为点列间的透视对应，同样可以建立两个射影平面π和π′间的透视对应，称为点场间的透视对应，射心则称为透视中心;透视对应保持同素性、结合性不变。设共线4点P1、P2、P3、P的对应点分别为P′1、P′2、P′3和P′ (如图3)，则有：

称 为共线4点P1、P2、P3、P的交比，其中P1、P2为基点偶，P3、P为分点偶，P1、P2、P3、P4点的交比记作(P1P2，P3P)，即：

(其中线段均为有向线段)。容易看出，当P3、P两点均属于或均不属于线段P1P2时，则交比为正，这时我们说点偶P1、P2不分离点偶P3、P;在另一种情形，则说点偶P1、P2分离点偶P3、P，此时交比为负。故说透视对应保持分离性不变，交比是透视对应下基本不变量。

两点列l(x)到l′(x′)的点之间的一个一一对应，使l上任意4点的交比与l′上对应4点的交比相等，则此一一对应称为点列l(x)到l′(x′)的射影对应;当两个点列的底重合时，称为点列的射影变换或一维射影变换。

两点场π(x)及π′(x′)的点间的一个一一对应，满足以下条件：(1)π(x)上共线3点仍变为共线3点。(2)共线4点的交比不变。则此一一对应称为点场π(x)到点场π′(x′)的射影对应，当两点场的底重合时，称为点场的射影变换或二维射影变换。

由此可得点列的射影变换，就是把点列l(x)上的任意一点经过有限次的透视对应，最后仍变到点列l(x)上的点的一个变换;点场的射影变换，就是把点场π(x)上的点经过有限次的透视对应最后仍变到π(x)上的点的一个变换。根据对偶原则，还有线束的射影变换，它也是一维射影变换;线场的射影变换，它是二维射影变换等等。

射影变换的乘积是射影变换，射影变换之逆是射影变换，所以一切射影变换的集合构成一个群，称为射影变换群，简称为射影群。

图形在射影变换下不变的性质和量称为射影性质和射影不变量;研究图形的射影性质的几何分支就是射影几何学。例如结合性、分离性是基本射影性质，交比是基本射影不变量。

在射影平面上，二次曲线也可以用射影观点来定义，一个二次曲线经射影变换后仍变为二次曲线，且在射影几何里，椭圆、双曲线、抛物线属于同一等价类。

亦称复比。射影几何的基本不变量。若四点P1，P2，P3，P4共线，则两个单比(P1P2P3)与(P1P2P4)的比称为P1，P2，P3，P4的交比，记为(P1P2，P3P4)。其中P1，P2称为基点偶，P3，P4称为分点偶。由于交比是两个简单比的比，故又称它为复比。利用四个点的交比可以定义直线束中四条直线的交比以及平面束中四个平面的交比。

共线四点P1，P2，P3，P4的交比(P1P2，P3P4)有下列基本性质：

1.基点偶与分点偶交换，交比的值不变，即

2.基点偶的两个字母交换或分点偶的两个字母交换，交比的值变为原来交比值的倒数，即：

3.同时交换每个点偶里的字母，交比的值不变，即：

4.交换中间的两个字母或交换两端的两个字母，交比的值等于1减去原来的交比值，即：

这些性质易从交比的定义或交比的代数表示推出.由这些性质知道，尽管共线四点可构成24个交比，但不同的交比值至多只有6个。若交比(P1P2，P3P4)=λ，则这六个值分别是：