左不变向量场_微分几何概念

左不变向量场

微分几何概念

左不变向量场（left invariant vector field）是微分几何中的一种向量场。

定义

李群G上向量场X称为左不变向量场，若对任意g,h∈G，有

Lg*X(h)=X(gh)，即Lg*X=X∘g。

相关概念

所有左不变向量场的集𝖌为李代数，称为G的李代数。

性质

∀X∈𝖌由Xe唯一决定，即Xg=X∘ge=Lg*Xe。

给定v∈TeG，向量场X定义为Xg:=Lg*v为左不变向量场，即Lh*Xg=(Lh∘Lg)*v=Lhg*v=X∘Lh(g)。

故线性映射𝖌→TeG，X↦Xe为同构。则TeG为李代数，对任意左不变向量场X与Y，其李括号定义为[Xe,Ye]:=[X,Y]e。

参考资料

最新修订时间：2024-07-09 07:01

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