希尔伯特零点定理是古典代数几何的基石，它给出了域 k 上的 n 维仿射空间中的代数集与域 k 上的 n 元多项式环的根理想的一一对应关系，此外，它的一个较弱版本给出了仿射空间中的点与多项式环的极大理想之间的一一对应关系，由此建立了代数和几何之间的联系，使得人们可以用交换代数的手段研究几何问题。

设代数闭域上的元多项式环为：

（1）的任一真理想都满足

（2）（弱形式）的极大理想具有形式， 这里。

（3）（强形式）的任一理想都满足。

设是关于变元 一组 元多项式. 方程组无公共零点的充要条件是: 存在另一组元多项式,使得成立: 。

强形式的表述需要定义代数集。

称集合 是代数闭域上的维仿射空间，又记 为上的元多项式环。

称 的子集 为代数集，如果存在 的子集 使得.

另一方面，对于的任一子集，我们都可以定义的一个理想.不难验证是的一个根理想。这里，的理想的根定义为.