幂函数（power function）是
基本初等函数之一。
定义域和值域及其奇偶性
幂函数的一般形式是 ，其中，a可为任何常数，但中学阶段仅研究a为
有理数的情形（a为有理数时：a>0，定义域为[0,+∞)；a<0，定义域为(0,+∞) ），这时可表示为 ，其中m,n，k∈N*，且m，n互质。特别，当n=1时为
整数指数幂。
（1）当m，n都为奇数，k为偶数时，如 ， ， 等，定义域、值域均为R，为
奇函数；
（2）当m，n都为奇数，k为奇数时，如 ， ， 等，定义域、值域均为{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，为奇函数；
（3）当m为奇数，n为偶数，k为偶数时，如 ， 等，定义域、值域均为[0，+∞)，为
非奇非偶函数；
（4）当m为奇数，n为偶数，k为奇数时，如 ， 等，定义域、值域均为(0，+∞)，为非奇非偶函数；
（5）当m为偶数，n为奇数，k为偶数时，如 ， 等，定义域为R、值域为[0，+∞)，为
偶函数；
（6）当m为偶数，n为奇数，k为奇数时，如 ， 等，定义域为{x∈R|x≠0}，也就是（-∞，0)∪(0，+∞)，值域为(0，+∞)，为偶函数。
性质
正值性质
当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：
a、图像都经过点（1,1）（0,0）；
c、在第一象限内，α>1时，
导数值逐渐增大；α=1时，导数为
常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）；
负值性质
当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：
a、图像都通过点（1,1）；
b、图像在区间（0，+∞）上是
减函数；（内容补充：若为X-2，易得到其为
偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间（-∞，0）上单调递增。其余偶函数亦是如此）。
c、在
第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），
自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。
零值性质
当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：
a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。
讨论分析
由于x大于0是对α的
任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在各
象限的各自情况。可以看到：
（1）所有的图像都通过（1，1）这点.（α≠0） α>0时 图象过点（0，0）和（1，1）。
当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：
①当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增；
②当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增；
③当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；
④当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。
当α为分数时（且分子为1），α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：
①当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增；
②当α>0，分母为奇数时，函数在第一三象限各象限内单调递增；
③当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减；
④当α<0，分母为奇数时，函数在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；
（3）当α>1时，幂函数图形下凹（竖抛）；
当0<α<1时，幂函数图形上凸（横抛）。
（4）在（0,1）上，幂函数中α越大，函数图像越靠近x轴；在（1，﹢∞）上幂函数中α越大，函数图像越远离x轴。
（5）当α<0时，α越小，图形倾斜程度越大。
（6）显然幂函数无界限。
特性
对于α的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
首先我们知道如果 ，q和p都是
整数，则 ，如果q是
奇数，函数的
定义域是R;如果q是偶数，函数的
定义域是[0,+∞）。
当指数α是
负整数时，设α=-k，则 ，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0）∪（0,+∞）。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在
偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
α小于0时，x不等于0；
α的分母为偶数时，x不小于0；
α的分母为奇数时，x取R。