我们得到了关于 -p与 -q的
幂平均不等式，同样的推理可以倒推，从而证明了两个不等式等价，这在后面的证明中将用到。
两种情形我们都得到关于的加权算术几何平均不等式，这可以用
琴生不等式证明，利用
对数函数是凸函数的事实：
因为此不等式对任何q成立，足够小同样成立，可以将证明（利用
洛必达法则），当q趋于 0 时，左右两边趋于几何平均，q趋于 0 时的幂平均是几何平均：
我们将证明对任何p
如果p是负数且q是正数，不等式等价于上面已证过的
对正数p与q的证明如下：定义函数 f是一个幂函数，所以有二阶导数：，在f的定义域内严格正，因为q>p，从而我们知道f是凸的。
两边取 1/q次幂（递增函数，因 1/q 为正数）我们得到了欲证之不等式：
最后使用先前证过的等价性，我们得到了关于负数p与q的不等式，证毕。
推广
幂平均可以推广到更一般的广义f-平均：
例如这包括了几何平均而勿需使用极限。幂平均是由得到的。
应用
信号处理
幂平均作为一个非线性
移动平均。对于小p 值，幂平均比较偏重小信号值，对于大 p 值，幂平均则会强调大信号值。对于大 p 值，这可作为一个
整流信号的包封检测器（envelope detector）。对于小 p值，这可作为一个质量谱的基线侦测器（baseline detector）。