齐次函数
一个有倍数性质的函数
齐次函数是一个有倍数性质的函数：如果变数乘以一个系数，则新函数会是原函数再乘上系数的某次方倍。
定义描述
把函数的自变量乘以一个因子，如果此时因变量相当于原函数乘以这个因子 的幂，则称此函数为齐次函数。
定义函数 为 次齐次函数，需满足关系：
欧拉定理
对于 次齐次函数 ，有齐次函数的欧拉定理：
定理证明：
因为函数为次齐次函数，所以对定义式两边求全微分有
这两个全微分的值必相等，于是
取，得到
证毕。
齐次方程：
如果方程 右端的函数 为它的变量的零次齐次函数，即满足恒等式
那么称上述方程为齐次方程。
例子
线性函数是一次齐次函数，因为根据线性的定义，对于所有的和，都有：
多线性函数是n次齐次函数，因为根据多线性的定义，对于所有的和都有：
从上一个例子中可以看出，两个巴拿赫空间X和 Y之间的函数的n阶弗雷歇导数是n次齐次函数。
n元单项式定义了齐次函数。
例如：
是10次齐次函数，因为：
。
齐次多项式是由同次数的单项式相加所组成的多项式。例如：
是5次齐次多项式。齐次多项式可以用来定义齐次函数。
应用
对于以下的微分方程
其中I和 J是同次数的齐次函数，利用变量代换v=y/x，可以把它化为可分离变量的微分方程：
。
参考资料
最新修订时间：2023-01-05 13:25
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概述
定义描述
欧拉定理
例子
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