数学的一个分支。传统的代数用有字符 (变量) 的表达式进行算术运算，字符代表未知数或未定数。如果不包括除法 (用整数除除外)，则每一个表达式都是一个含有理系数的多项式。代数方法使问题的求解简化为符号表达式的操作，已渗入数学的各分支。

幂结合代数(power associative algebra)是一类非结合代数。若A是域F上的一个非结合代数，且对每个a∈A，由a生成的A的子代数F[a]都是结合的，则称A是F上的一个幂结合代数。对任意a∈A，若a=a，a=aa，对i=1，2，…，则一个非结合代数A是幂结合代数当且仅当aa=a，对i，j=1，2，….结合代数、交错代数和若尔当代数都是幂结合的。对于一个李代数，由于对每个元素a恒有a=0，所以李代数也是幂结合的。

数学的一个分支。传统的代数用有字符 (变量) 的表达式进行算术运算，字符代表未知数或未定数。如果不包括除法 (用整数除除外)，则每一个表达式都是一个含有理系数的多项式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一个代数方程式 (参见EQUATION)是通过使多项式等于零来表示对变量所加的条件。如果只有一个变量，那么满足这一方程式的将是一定数量的实数或复数——它的根。一个代数数是某一方程式的根。代数数的理论——伽罗瓦理论是数学中最令人满意的分支之一。建立这个理论的伽罗瓦(Evariste Galois，1811-32)在21岁时死于决斗中。他证明了不可能有解五次方程的代数公式。用他的方法也证明了用直尺和圆规不能解决某些著名的几何问题(立方加倍，三等分一个角)。多于一个变量的代数方程理论属于代数几何学，抽象代数学处理广义的数学结构，它们与算术运算有类似之处。参见，如： 布尔代数(BOOLEAN ALGEBRA)；群 (GRO-UPS)；矩阵(MATRICES)；四元数(QUA-TERNIONS )；向量(VECTORS)。这些结构以公理 (见公理法 AXIOMATICMETHOD) 为特征。特别重要的是结合律和交换律。代数方法使问题的求解简化为符号表达式的操作，已渗入数学的各分支。

设K为一交换体. 把K上的向量空间E叫做K上的代数，或叫K-代数，如果赋以从E×E到E中的双线性映射.换言之，赋以集合E由如下三个给定的法则所定义的代数结构：

——记为加法的合成法则(x，y)↦x+y;

——记为乘法的第二个合成法则(x，y)↦xy;

——记为乘法的从K×E到E中的映射(α，x)↦αx，这是一个作用法则;

这三个法则满足下列条件：

a) 赋以第一个和第三个法则，E则为K上的一个向量空间;

b) 对E的元素的任意三元组(x，y，z)，有

x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;

c)对K的任一元素偶(α，β)及对E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).

设A为一非空集合. 赋予从A到K中的全体映射之集ℱ(A，K)以如下三个法则：

则ℱ(A， K)是K上的代数， 自然地被称为从A到K中的映射代数.当A=N时， 代数ℱ(A，K)叫做K的元素序列代数.

无论是在代数还是在分析中，代数结构都是最常见到的结构之一。十九世纪前半叶末，随着哈密顿四元数理论的建立，非交换代数的研究已经开始. 在十九世纪下半叶，随着M.S.李的工作，非结合代数出现了. 到二十世纪初，由于放弃实数体或复数体作为算子域的限制，代数得到了重大扩展。

与外代数，对称代数，张量代数，克利福德代数等一起，代数结构在多重线性代数中也建立了起来。

类似于环、域，而更接近于环的一个代数系。设A是一个结合环，若A又是域F上向量空间，且对任意元素a，b∈A，λ∈F，适合λ(ab)=(λa)b=a(λb)，则称A是F上结合代数，简称F代数.称F上向量空间A的维数为代数A的维数，记为dimA.一般地，若结合环A又是左R模，其中R是有单位元1的交换环，且对任意a∈A，λ∈R，适合

1·a=a，λ(ab)=(λa)b=a(λb)，

则称A是R上代数.通常假定一个R代数有单位元.

结合代数研究的中心问题是刻画各类代数的结构，它是从19世纪50年代哈密顿(Hamilton，W.R.)引入实域上四元数(1843年)、格拉斯曼(Grassmann，H.G.)引入向量乘法以及凯莱(Cayley，A.)等人讨论矩阵代数开始的.到20世纪初，韦德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)开创了有限维代数发展的新阶段，他的半单代数结构理论对代数的发展起了推动作用，使有限维代数的研究基本上归结为幂零代数与可除代数的研究，进而得出半单代数较完整的表示理论.阿尔贝特(Albert，A.A.)的《代数结构》一书(1939年)是对经典代数的很好的总结.非半单代数结构的研究则较为复杂，因此划分成一些自然的代数类并对它们进行描述就成了占主要地位的工作.克德(Ko¨the，G.)、中山正(Nakayama，T.)、浅野启三(Asano，K.)等人刻画了主理想代数、弗罗贝尼乌斯代数以及它们的推广.近年来，开始用模论的方法研究代数结构，产生了代数表示论。

由于R上代数A与环的概念仅多一个R×A到A的乘法运算，因此，子代数、单侧理想、理想、商代数、幂零和幂零理想、同构及同态等概念仅比环中相应概念多一个与R中元相乘封闭的性质，不再重复它们的定义。

抽象代数学的一个重要分支，与结合环和结合代数理论在概念与术语的使用上、问题的背景与提出的方式上、讨论中的思路与解决问题的方法上都有密切联系。若集合R上有两个二元运算：加法“+”和乘法“·”，而且：

1.(R，+)是加法群;

2.R的乘法“·”对其加法“+”满足分配律，即对任意x，y，z∈R，恒有：

(x+y)·z=x·z+y·z，

z·(x+y)=z·x+z·y;

则称(R，+，·)是一个非结合环.进而，

3.若(R，+)是域F上的线性空间，且对任意α∈F，任意x，y∈R有

α(x·y)=(αx)·y=x·(αy);

则称(R，+，·)是域F上的一个非结合代数。也称非结合环、非结合代数为分配环和分配代数。设(A，+，·)是一个非结合代数，若它对其乘法满足结合律或交错律或若尔当律或雅可比恒等式等，就分别称其为结合代数、交错代数、非交换若尔当代数、李代数等。因为，结合环必为非结合环，每个结合代数都是非结合代数，所以，字头“非”意味着乘法满足结合律与不满足结合律的环与代数的总和.由于结合环与结合代数的研究工作起步早、成果多，已自成系统，所以在非结合代数与非结合环理论中通常将那些“结合的”系统排除在外。同样道理，李代数已形成独立局面，而不再被包含在一般非结合代数中。

一些重要的非结合代数是受到量子力学、统计物理等刺激发展起来的，但是在其代数结构的理论探讨上，可以说，基本上是沿着结合代数结构理论的路子向前发展。如引入理想、同态、商代数、根、直和、链条件、半单等概念，分别讨论各种类型非结合代数的韦德伯恩定理存在的可能性等。

在这个分支中，到目前为止，研究成果比较令人满意的是幂结合代数、凯莱代数、若尔当代数、非交换若尔当代数、交错代数等。

交错代数是指满足特别公理的一种非结合代数。指它的任意两个元素x，y恒有：

x2y=x(xy)，　yx2=(yx)x.

写成结合子形式，即(x，x，y)=(y，x，x)=0。交错意味着对任意一个3级置换σ恒有：

(x1，x2，x3)=(sgnσ)(xσ(1)，xσ(2)，xσ(3)).

交错代数中任意两个元素生成的子代数都是结合的。有限维交错代数是半单的，当且仅当它是其单理想之直和。

一种交换的非结合代数。它满足若尔当恒等式。所谓非结合代数满足若尔当恒等式，是指对它的任意元素x，y，恒有xy=yx及(xy)x2=x(yx2)。任何交换(结合)代数都是若尔当代数。特征数为0的域F上的任意有限维半单的若尔当代数恒可惟一地表为其单理想之直和。对于有限维若尔当代数，理想是可解的、幂零的和诣零的三条件等价。若尔当代数是20世纪30年代初由物理学家若尔当(Jordan，P.)引出来的，最初的目的是推广量子力学的公式。

一类重要的非结合代数。记L为域F上的线性空间，若L中除了加法和纯量积，还有第三种代数运算：L×L→L，记为[x，y]，x，y∈L，它适合条件：

1.反对称性　[x，x]=0，　x∈L.

2.双线性性　[λx+μy，z]=λ[x，z]+μ[y，z]，λ，μ∈F，x，y∈L.

3.Jacobi恒等式　[[x，y]，z]+[[z，x]，y]+[[y，z]，x]=0，x，y，z∈L.

则[x，y]称为x和y的换位运算，亦称“方括号运算”。这时L称为域F上李代数，简称李代数.当L的维数有限时，称为有限维李代数；当L的维数无限时，称为无限维李代数。例如，若L为域F上的结合代数，满足结合律的乘法，记为ab，a，b∈L，则运算[a，b]=ab-ba，a，b∈L为换位运算。在此运算下，L为李代数。特别地，若L为由所有n×n矩阵构成的结合代数，则在矩阵运算下定义：

[A，B]=AB-BA

便构成一个n维李代数。