结合代数（associative algebra）：一种代数系统，类似于群、环、域，而更接近于环。结合代数的研究，早在19世纪50年代，W.R.哈密顿考察四元数、H.G.格拉斯曼引入向量乘法以及A.凯莱等人讨论矩阵代数之时就已开始，其目标是刻画各种类型的结合代数的结构和表示。

设A是非空集,F是域。在集A上定义有加法+和乘法·两个运算,在F和A之间定义有数乘运算,即对于任意α∈F,a∈A有αa∈A,且满足以下条件:①A关于加法+和乘法·作成结合环;②A关于加法+及数乘运算构成域F上的向量空间；③对任意α∈F，a、b∈A有α(ab)=(αa)b=a(αb)，这种代数系统记作{A,+,·,数乘}并称为域F 上结合代数，简称F上代数A或代数A。域F上向量空间A的维数也称为F上代数A的维数。

环的加法群是一个交换群，而代数的加法群是域F上的向量空间，后者较前者的结构要简单得多。例如，向量空间A必有基{αi，i∈I}，而任意a∈A可唯一表成 。于是只要知道αi之间的乘法表,

便可以计算A中任二元的乘积称为代数A的构造常数。反之，通过规定向量空间A的一组基元之间的乘法,可线性扩张成A中的一个乘法。人们常利用这种方便定义新代数。

与环相类似，结合代数也有子代数、理想、同态、直积等概念。

例如，代数A的理想B，即指B是向量空间A的子空间，又是环A的理想。与除环和单环相应的概念,是可除代数和单代数等。

仿照由实数来构造复数的方法，可用复数来构造新的数。设Q是一切复数对(α,b)的集合,规定(α,b)=(с,d)当且仅当 α=с,b=d，并定义如下的运算

婔,廀是复数с，d的共轭数,α是实数。直接验证可知,Q是实数域R上的一个四维结合代数，除了乘法交换律之外，Q的运算具有通常的数运算的所有性质。这是第一个非交换可除代数的例子。

如令

则它们组成R上代数Q的一个基,而Q关于此基的乘法表是：1是单位元。这就是著名的四元数代数。

由于推广数系而得出四元数代数，随之产生出实数域与复数域上的结合代数的概念，最初曾称之为：“超复数系”。实数域上有限维可除代数有三个而且只能有此三个：实数域、复数域、四元数代数。这就是著名的弗罗贝尼乌斯定理。而韦德伯恩定理则刻画了关于有限域的情形：有限域上有限维可除代数只能是有限域。

域K上一切n×n矩阵的集合Kn关于矩阵的加法、乘法和数乘运算,作成一个n2维结合代数,而且是单代数。用域F上m维可除代数D去代替域K，就得到D上一切n×n矩阵组成的F上mn2维结合代数Dn。Dn也是单代数。

关于有限维结合代数的韦德伯恩理论，对代数的研究有深远的影响。这一理论的主要内容是：①任意有限维结合代数A含有一个极大的幂零理想N(所谓N是幂零的，意指存在一个自然数n，使N中任意n个元素之积都是零)，它包含A的一切幂零理想，N称为A的幂零根，而商代数A/N的幂零根为零，幂零根为零的代数，称为半单代数；②半单代数是有限个单代数的直和;③F上单代数必具有形式Dn,其中D是F上可除代数，且D和n是唯一的；④任意代数A=N+S（向量空间的直和），其中N是A的幂零根，S是A的半单代数。

Α.И.马尔采夫证明了④中的子代数S在不计内自同构的意义下是唯一的。根据上述韦德伯恩定理，有限维代数的研究，基本上可归结为对幂零代数与可除代数的研究。实际上这是研究代数的一个模式：对代数引入根的概念，从而可将对任意代数的研究化归为对两类特殊代数的研究。结合环的阿廷理论和雅各布森理论，以及关于非结合代数和环的一些研究都是按照这一模式进行的。

F上单代数A有单位元1，因此可认定F=F·1吇A。若A的中心(即与A中任意元素都是乘法可换的元素的全体)恰是F，则A称为F上中心单代数。Fn是F上中心单代数。

张量积在研究单代数时起着重要作用。设A、B是F有单位元的代数。取A在F上的一个基;取B在F上的一个基

,。以符号集为基可作F上一个向量空间，记作A×B。规定A×B的一个乘法,则得F上一个结合代数A×B，称之为F上代数A和B的张量积。可以证明,代数A×B与A和B之基的选择无关。两个F上中心单代数的张量积仍是F上中心单代数。利用张量积可以定义张量代数,或者外代数、格拉斯曼代数（见多重线性代数）。

令G表示F上有限维中心单代数的全体。在集合G中引入关系～：A～B当且仅当存在m、n∈Z +使得。容易证明，这是一个等价关系。令凴表示A所在的等价类，

。在集合强中规定一个乘法：

。可以证明，这个乘法定义是合理的,即与等价类凴的代表选择无关，并且强关于此乘法作成一个群。称群{强,·}为域F上的布饶尔群，记作B(F)。B(F)的结构反映了中心单代数间的张量积的性质。可以证明B(F)是交换周期群。 　若A是F上n2维中心单代数，且含有一个子域K,而K是F上n次正规扩域，则A称为一个交叉积。若K是域F上的循环扩域,则交叉积A特称为循环代数。交叉积有比较简单的乘法表，然而它有很好的代表性：B(F)中任一元素(即等价类凴中)必含有一个交叉积。

布饶尔-哈塞-诺特－阿尔贝特理论是有限维结合代数中特别重要而完美的理论。它阐明了有理数域上的每一个单代数（尤其可除代数）都是其中心F上的循环代数,也就是说，有理数域的有限扩域F上的中心单代数都是循环代数。近年来，S.阿米策等人讨论了不是交叉积的可除代数。

所谓有限维结合代数的表示,是指代数到域F上矩阵代数Fn内的同态映射。有限维结合代数的表示理论与有限群表示论之间有密切的联系。设G是一有限群,其元素为g1,g2,…,gn，F是一域,作一个以g1,g2,…,gn为基元的n维向量空间,于是便得到F上一个结合代数,称之为群代数，并记作F[G]。由结合代数F[G]的一个表示可得群G的一个表示。反之亦然。若域F的特征不能整除群G的元素个数│G│,则F[G]是半单代数。这就是马施克定理。由前述的韦德伯恩定理可进而得出半单代数的较为完整的表示理论，它可用来刻画有限群的常表示。若为域F的特征能整除│G│的情况，即有限群的模表示，则要求发展F上非半单代数的表示。弗罗贝尼乌斯代数、拟弗罗贝尼乌斯代数、单列代数以及它们的推广，是首先研究的非半单代数类，在研究中广泛使用了同调代数工具。近年来，代数的表示论在M.奥斯兰德、P.加布里埃尔、A.V.罗伊特等人手中有很大发展，是很活跃的一个代数分支。

1933年中山正、松岛与三证明了局部域上单代数的换位子群等于换 1元素群。王湘浩在1950年证明了上述二群在代数数域情形下仍相等，而且在一般域的情形下当指数无平方因子时也相等。这里首先提出的在最一般的情形下的问题,这在以后兴起的代数K理论和代数群理论中是很重要的。

一种代数系统，类似于群、环、域，而更接近于环。线性结合代数的研究，开始于19世纪50年代。在哈密顿发现四元数的启示下，数学家们陆续得到许多超复数系统。首先，凯莱给出实四元数的一个八单元推广——八元数；紧接着哈密顿引进拟

四元数，即带有复系数的四元数；稍后，英国数学家克利福德创立另一类型的超复数，叫作克利福德代数，在这个系统中，具有单元 。每个单元的平方满足 而对任何 有 ，任两个单元的乘积是一个新的单元，所有乘积是可结合的。 到19世纪70年代，又涌现了大量的新的超复数系统。美国数学家B．皮尔斯在1870年发表了著名论文《线性结合代数》，总结了这方面的工作。他指出，“线性”意味着任何两个单元的积可以化成另外一个单元，而结合则表明乘法是结合的。线性结合代数的理论到19世纪70年代末才建立起来，弗罗贝尼乌斯在1878年，C．S．皮尔斯在1881年先后证明：具有有限个原始单元的、有乘法单位元素的实系数线性结合代数只有实数、复数和实四元数系统。外尔斯特拉斯和戴德金也得到了关键性的结果。到19世纪末(1898)，德国数学家胡尔维茨证明了实数、复数、实四元数和克利福德代数是仅有的满足乘法定律的线性结合代数。

这个课题的研究，一直活跃到20世纪，美国数学家迪克森、韦德伯恩在这方面都有重要贡献。

非结合代数是抽象代数学的一个重要分支，与结合环和结合代数理论在概念与术语的使用上、问题的背景与提出的方式上、讨论中的思路与解决问题的方法上都有密切联系。若集合R上有两个二元运算：加法“+”和乘法“·”，而且：

1.(R，+)是加法群;

2.R的乘法“·”对其加法“+”满足分配律，即对任意x，y，z∈R，恒有：

(x+y)·z=x·z+y·z，

z·(x+y)=z·x+z·y;

则称(R，+，·)是一个非结合环.进而，

3.若(R，+)是域F上的线性空间，且对任意α∈F，任意x，y∈R有

α(x·y)=(αx)·y=x·(αy);

则称(R，+，·)是域F上的一个非结合代数.也称非结合环、非结合代数为分配环和分配代数.设(A，+，·)是一个非结合代数，若它对其乘法满足结合律或交错律或若尔当律或雅可比恒等式等，就分别称其为结合代数、交错代数、非交换若尔当代数、李代数等。因为，结合环必为非结合环，每个结合代数都是非结合代数，所以，字头“非”意味着乘法满足结合律与不满足结合律的环与代数的总和.由于结合环与结合代数的研究工作起步早、成果多，已自成系统，所以在非结合代数与非结合环理论中通常将那些“结合的”系统排除在外。同样道理，李代数已形成独立局面，而不再被包含在一般非结合代数中。

一些重要的非结合代数是受到量子力学、统计物理等刺激发展起来的，但是在其代数结构的理论探讨上，可以说，基本上是沿着结合代数结构理论的路子向前发展.如引入理想、同态、商代数、根、直和、链条件、半单等概念，分别讨论各种类型非结合代数的韦德伯恩定理存在的可能性等.

在这个分支中，研究成果比较令人满意的是幂结合代数、凯莱代数、若尔当代数、非交换若尔当代数、交错代数等。