在数学里，希尔伯特空间即完备的内积空间，也就是说一个带有内积的完备向量空间。是有限维欧几里得空间的一个推广，使之不局限于实数的情形和有限的维数，但又不失完备性。序列空间(sequential space)是一类特殊的拓扑空间。

更一般的希尔伯特空间都是无穷维的，假设 是一个任意集合，可以定义其上的 序列空间，记为

此空间在定义如下内积后，成为一个希尔伯特空间：

其中 和 是 中的任意元素。在这个定义中， 并非一定要是可数的，在 不可数之情形下， 不是可分（separable）的。在下面更具体的例子中，所有的希尔伯特空间在选定适当的 的情况下，都可以表示成为 的一个同构空间。特别地，当 的时候，可以将其简单记为 。

及其上的内积

构成了一个希尔伯特空间，其中短横线表示一个复数的复共轭。

勒贝格空间( 这里指 空间 )是指定义在测度空间上的函数空间，其中 代表函数的定义域， 的元素是 上的子集族，为 一个 代数，一般把 称作可测空间(measurable space)，而 是 上的测度。

更仔细的说， ( 简写做 ) 表示 上所有平方可积（square-integrable）的复数值的可测函数的集合。平方可积表示该函数的绝对值的平方的积分是有限的。要注意的是在 空间里，对于几乎处处( almost everywhere )相同的函数，也就是说如果两函数只在一个测度为0的集合上不相等，我们把这两函数当做在 中相同的元素。

此时两个函数f和g的内积定义为

因为，所以这内积的定义没有问题。

但需要证明的是：

这个证明可以在相关的书籍中找到，与此例相关的内容可以参看关于空间的著作。

索伯列夫空间一般表示为或者是希尔伯特空间的另一个重要实例，它多被应用于偏微分方程的研究。