库默尔扩张是(Kummer extesion)是阿贝尔扩张的一种类型。因首先由E.E.库默尔研究而得名。阿贝尔扩张是代数数论研究的主要对象。

库默尔扩张是(Kummer extesion)是阿贝尔扩张的一种类型。设E是域F的一个阿贝尔扩域，若E/F的伽罗瓦群G=G(E/F)中元素的最大阶数为m(m称为G的指数)，并且F含m个不同的m次单位根，则E称为F的库默尔m扩张；E称为库默尔域。例如，设F含本原n次单位根，且E为多项式：

在F上的分裂域，则E是F的库默尔n扩张。此时，E是F的阿贝尔扩域且F的特征数不能整除n，于是，x-ai在E内无重根，所以，E/F是可分的，从而是正规的。

阿贝尔扩张(Abelian extension)是一类重要的域扩张，设K是域F的伽罗瓦扩域，若其伽罗瓦群G(K/F)为一阿贝尔群，则称此扩张为阿贝尔扩张，此时，K称为F上阿贝尔扩域。这是一类较广泛的域扩张，循环扩张、分圆扩张及库默尔扩张等均为阿贝尔扩张的特例。

多重阿贝尔扩张(multiple Abelian extension)是由一串阿贝尔扩域构成的域扩张，设K是域F的扩域，若存在K的一串子域链

使得是的阿贝尔扩域，则称K为F的多重阿贝尔扩张，或多重阿贝尔扩域。根式扩域、素阶群扩张塔皆为多重阿贝尔扩域。

分圆域扩张(cyclotomic field extension)是一类重要的阿贝尔扩张，设Ω是域F的代数闭包，其中间域K称为F的一个分圆扩域，若K是通过对F添加某些单位根而生成的，此域扩张称为分圆域扩张。K是域F的有限次分圆扩域的充分必要条件为，存在一个本原单位根ξ∈K，使K=F(ξ)。对有理数域Q添加一个本原n次单位根ξ所得的分圆扩张Q(ξ)称为圆的n分域，它是有理数域Q的φ(n)次阿贝尔扩域，其中φ(n)为欧拉函数。n分域来源于

其中，从而可将单位圆n等分。

类域论是代数数论中最为重要的理论之一，也是数学所有理论中体系最为完美的理论之一，它深刻地刻画了(相对)阿贝尔扩张。

类域论是描述下列几种类型的域k的Abel扩张(Galois群是交换群的有限Galois扩张)的理论：

(1)k为代数数域，即有理数域Q的有限扩张；

(2)k是p-adic数域的有限扩张；

(3)k是有限域上一个变量的代数函数域；

(4)k是有限域上的形式幂级数域。

在类域论中，最为著名的就是由Kronecker，Weber，HiIberr还有其他一些数学家总结出来的类域论基本定理：

定理1(类域论基本定理)若是数域的有限Abel扩张，其Galois群为，则存在k的模(称为的导子，是的一个除子)。

(1)使得对k的任意模m，由得出

其中为与m互素的k的理想集，为与m互素的K的理想到k的范的全体，为模m余1的生成的主理想集；

(2) k的素除子v在K分歧当且仅当；k的与m互素的素理想p在K中完全分裂当且仅当；

(3) 对k的任意模m和的任一含的子群H，总存在唯一的Abel扩张使得，特别地

定理中，称为射线理想类群，所谓射线理想类群即是一种广义理想类群，它是类域论最初的表述语言(马上将会用伊代尔语言给出类域论基本定理)。数域k的一个模(或称为闭链)是指其素除子的一个形式积

此积式中v遍历k的素除子，整数只对有限个v非零，且当v是实除子时或1，当v是复除子时。对于，定义

为(当v是素除子)以及到vC嵌入为正实数(为实除子)。满足的生成的主理想的全体记为，与m互素的k的理想全体记作，于是便称为k的以m为模的射线理想类群，其元素个数称为射线理想类数。

上面已经提到，射线理想类群是类域论基本定理的最初表述语言，而更常用的是伊代尔语言，下面就给出类域论基本定理的伊代尔语言。

定理1'(类域论基本定理的伊代尔语言)若是数域的有限Abel扩张，则

其中为k的伊代尔群，表示K的伊代尔群到k的范数。

上述群的同构是由Artin映射(Artin符号)给出的。由类域论基本定理的伊代尔语言可以看出，数域k的所有具有Abel扩张与的含的所有开子集H之间存在一一对应关系，即K对应于，称为H的类域(Class Field)，且

(类域论主同构)

(2)和(4)类型的域称为局部的，(1)和(4)类型的域称为整体的。于是，相应的就有局部类域论和整体类域论。