庞特里亚金类有一些类似于斯蒂弗尔-惠特尼类与陈类的几何与拓扑性质。此外，由于复数与四元数之间的密切关系，还存在一些陈类与庞类之间的关系，但是米尔诺(Milnor, J. W.)证明，庞特里亚金类不是拓扑不变量。

设ξ=(E,p,B,ℝn)是以仿紧豪斯多夫空间B为底空间、ℝn为纤维、正交群O(n)为结构群的n维实向量丛。对应于结构群的包含映射O(n)↪U(n)，ξ与其复化丛 相对应。然后，ξ的庞特里亚金类可由其复化丛的陈类定义。

ξ的4i维庞特里亚金类指

和式称为ξ的全庞特里亚金类，记作p(ξ)。

庞特里亚金类有一些类似于斯蒂弗尔-惠特尼类与陈类的几何与拓扑性质。此外，由于复数与四元数之间的密切关系，还存在一些陈类与庞类之间的关系，但是米尔诺(Milnor, J. W.)证明，庞特里亚金类不是拓扑不变量。

设R为交换幺环，则庞特里亚金类pi∈H4i(BO(n);R)定义为

pi=(-1)ic*(c2i)

其中c*:H4i(BU(n);R)→H4i(BO(n);R)。

等价定义为

设E为实向量丛，𝓕为E的场强。全庞特里亚金类定义为

p(𝓕)=det(I+𝓕/2π)

设A∈𝖌𝖑(n)，定义𝖌𝖑(n)上不变多项式f1,...,fn为det(xI-A)=xn-f1(A)xn-1+...+(-1)nfn(A)。令n=2k或2k+1，则𝖔(n)上不变多项式代数PO(n)由f2,f4,...,f2k生成。令g2i为f2i的极化，若R为n阶向量丛ξ=π:E→B的曲率张量，则为B上闭4i形式，且其上同调类与联络的选取无关。则ξ的第i庞特里亚金类为pi(ξ)∈H4i(B)，其中pi为

对实向量丛E→B，有H4i(B;ℤ)→H4i(B;ℤ2)，pi(E)↦w2i(E)2；

对可定向实2n维向量丛E，e(E)∈H2n(B;ℤ)，则pn(E)=e(E)2。

即斯蒂弗尔-惠特尼类与庞特里亚金类决定了非定向实向量丛的所有示性类，而对于定向实向量丛，还有欧拉类。

全庞特里亚金类满足惠特尼乘积公式，即

p(E⨁E')=p(E)p(E')

[Pontryagin number]

庞特里亚金数是微分流形的拓扑不变量，它是针对4n维流形而言，即若流形的维数不能被4整除，则其庞特里亚金数为零。设M是一个4n维微分流形。M的庞特里亚金数指它的庞特里亚金类生成的所有4n次单项式在基本同调类[M]的估值： ，其中 。

庞特里亚金数是定向配边的不变量。庞特里亚金数和斯蒂弗尔-惠特尼数合在一起是可定向微分流形的定向配边类的完全不变量。整性定理中的一些重要不变量（诸如希策布鲁赫符号差，Â亏格等）均可由庞特里亚金数表达。