度量不变量（metric invariant）也称正交不变量，指在正交变换下保持不变的量。度量（metric）亦称距离函数，是度量空间中满足特定条件的特殊函数。两点之间的距离是基本的度量不变量，此外还包括两直线间的夹角、图形的面积等均是度量不变量。

度量（metric）亦称距离函数，是度量空间中满足特定条件的特殊函数，一般用d表示。度量空间也叫做距离空间，是一类特殊的拓扑空间。弗雷歇（Fréchet，M.R.）将欧几里得空间的距离概念抽象化，于1906年定义了度量空间。

在度量空间中，紧性、可数紧性、序列紧性、子集紧性是一致的。可分性、遗传可分性、第二可数性、林德勒夫性是一致的。度量空间必满足第一可数公理，是豪斯多夫空间，完全正规空间，仿紧空间。伪度量空间满足第一可数公理，但一般不是豪斯多夫空间。

在线性代数中，正交变换是线性变换的一种，它从实内积空间V映射到V自身，且保证变换前后内积不变。[1]

因为向量的模长与夹角都是用内积定义的，所以正交变换前后一对向量各自的模长和它们的夹角都不变。特别地，标准正交基经正交变换后仍为标准正交基。

在有限维空间中，正交变换在标准正交基下的矩阵表示为正交矩阵，其所有行和所有列也都各自构成V的一组标准正交基。因为正交矩阵的行列式只可能为+1或−1，故正交变换的行列式为+1或−1。行列式为+1和−1的正交变换分别称为第一类的（对应旋转变换）和第二类的（对应瑕旋转变换）。可见，欧几里得空间中的正交变换只包含旋转、反射及它们的组合（即瑕旋转）。

度量不变量（metric invariant）亦称正交不变量，是正交变换的一种特征，指在正交变换下保持不变的量。例如，两点之间的距离、两直线间的夹角、图形的面积等均是度量不变量。其中，两点之间的距离是最基本的度量不变量，其他度量不变量都可以由该不变量表示出来。

度量不变量就是用来“测量距离空间及其子集的尺子”。随着人们掌握的度量不变量越来越多，人们能够越来越精确地刻画与区分所研究对象的几何差别。常见的度量不变量很多，比如直径，面积，体积，覆盖半径，装填半径及各种宽度。

Gromov-Hausdorff距离是对通常的Hausdorff距离的一般化。Hausdorff距离是指同一距离空间中两个子集的距离，而Gromov-Hausdorff距离指的是两个距离空间之间的距离。后者直观上就是将两个距离空间放置到一个“更大”的距离空间时，寻找出一个最好的放置方式使得这两个距离空间的Husdorff距离最小，这样就定义了两个距离空间的距离。在所有由紧致距离空间构成的集合中，Gromov-Hausdorff距离确定的拓扑就是Gromov-Hausdorff拓扑。

那么这些度量不变量在Hausdorff拓扑以及Gromov-Hausdorff拓扑下的连续性或收敛性会是怎样的呢?

相关结论如下：

（1）对于有界的度量空间，直径函数在Gromov-Hausdorff拓扑下是连续的。进一步，半径函数，第一覆盖半径，第二装填半径在Gromov-Hausdorff拓扑下是连续的。

（2）对欧式空间R中的子集，第k个宽度函数和对R中的凸集，第(n一1)个平均宽度函数在Hausdorff距离下是连续的。

（3）道路长度函数关于道路一致收敛拓扑是下半连续的。