咸丰六年（1856年），成进士，选庶吉士，授编修。十年，车驾
北狩，录城防功，擢四品京堂。明年，授赞善。累迁内阁学士，除盛京兵部侍郎。
同治六年（1867年），调户部，数勘办展边垦地。十一年（1872年），移督仓场。与汉侍郎毕道远疏请漕粮起运本色济兵食，议行。
光绪二年（1876年），出为热河都统，以围场旷莽，易丛奸宄，请增置营汛资守御。有土寇王致冈者，构众扰平泉、赤峰、建昌诸处，积为民患，官军莫能捕，至是遣守备松恩剿平之。寻移疾去。九年，授左都御史。念《会典事例》自嘉庆间续修，中更六十馀年，典章制度，视昔弥剧。及今不修，恐文献无徵，难免舛漏。疏请敕廷臣集议开馆，限年修明宪典，得旨报可。十年，晋理藩院尚书，调礼部。万寿圣节，大学士
左宗棠未随班叩祝，延煦上疏论劾。略谓：“左宗棠职居首列，鸿胪引班时，竟步出乾清门，不胜駴诧！国家优礼大臣，宗棠被恩尤重。纵捐顶踵，未报万一，乃躬履尊严之地，绝无诚敬之心。如曰遘疾，曷弗请假？而必故乱班联，害礼负恩，莫或斯等！”疏上，下宗棠吏议，以延煦语过当，诏革职留任。
会山东民埝决口，言者劾巡抚
陈士杰误工状，命延煦偕
祁世长往按，白其诬而言其失计。又以遵旨巡察海防，具图说以上，谓：“烟台、旅顺对峙，海面至此一束，两岸同心扼守要隘，津、沽得有锁钥。防守之法，应如何测浅深，审沙线，备船炮，设水师；募谙海战之人，必有制胜之策。”上韪其议，特宣示。还京，再移疾，不允。十二年，两宫祇谒东陵，诣孝贞显皇后陵寝，慈禧皇太后不欲行拜跪礼，延煦持不可，面诤数四。方是时，太后怒甚，礼部长官咸失色，延煦从容无少变。太后卒无以难，不得已跪拜如仪。延煦起家贵介，以文词受主知，而立朝大节侃侃无所挠，士论伟之。第二年，卒。
子会章，光绪二年进士，历官理藩院侍郎。
戊戌政变，汉京朝官罹法网者众。会章独奏论刑狱贵持其平，不当以满、汉分畛域，言人所不敢言，论者谓其伉直有父风。