张量分析是
微分几何中研究
张量场的微分运算的一个分支。张量分析是用共变微分表示各种几何量和微分算子性质的运算方法，可以看作是微分流形上的“微分法”，是研究流形上的几何和分析的一种重要工具。
张量分析起源于德国数学家
格拉斯曼的超复数理论和英国数学家哈密顿于1843年建立的四元数理论。格拉斯曼于1844年在《线性扩张论》中独立给出n个分量的超复数，称之为扩张的量，论述了超复数作为向量的运算法则及几何意义，1855年又进行了总结。19世纪50年代后，
黎曼、
贝尔特拉米、
克里斯托费尔和
李普希茨等人建立并发展了
微分不变量理论，为张量分析提供了基础。1884—1894年意大利数学家里奇创立绝对微分学理论，并应用于微分几何和物理学的某些问题中。里奇还引入“张量”概念，论述了张量分析中的许多基本理论，有一类二阶共变张量场叫做里奇张量。里奇与他的学生列维-齐维塔合著的《绝对微分法及其应用》(1901)成为
张量分析的经典著作，其中指出了如何把某些
偏微分方程及物理规律表示成张量的形式，以便使它们与坐标系无关。1916年爱因斯坦成功地达到这一目标，用数学不变式表达了广义相对论。另一方面爱因斯坦的工作也促进了张量分析的发展，“张量分析”这一名称就是他于1916年开始使用的。张量分析在20世纪上半叶由荷兰数学家斯豪滕等人进一步发展。
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协变微分法服从规律——两张量之和（或差）的协变导数是它们的协变导数之和（或差）；两张量的外积（或内积）的协变导数等于两项之和，每项是一个张量外乘（或内乘）另一张量的协变导数。