微分是一个变量在某个变化过程中的改变量的线性主要部分。若函数y=f(x)在点x处有导数f'(x)存在，则y因x的变化量△x所引起的改变量是△y=f(x+△x)一f(x)=f'(x)·△x+o(△x)，式中o(△x)随△x趋于0。因此△y的线性形式的主要部分dy=f'(x)△x是y的微分。可见，微分作为函数的一种运算，是与求导（函）数的运算一致的。

设M为光滑流形，U为M的开集，𝓕U为U上光滑函数代数，p∈U，f∈𝓕U。则f在p的微分为对偶空间T*pM的元，定义为

df(p)(v):=v(f)，v∈TpM。

微分为线性映射d:A0(M)→A1(M)。

d(fg)=fdg+gdf。

{dxi(p)}为与{∂/∂xi(p)}对偶的基。

萌芽时期

早在希腊时期，人类已经开始讨论「无穷」、「极限」以及「无穷分割」等概念。这些都是微积分的中心思想；虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞，有时现代人甚至觉得这些讨论的论证和结论都很荒谬，但无可否认，这些讨论是人类发展微积分的第一步。

例如公元前五世纪，希腊的德谟克利特（Democritus）提出原子论：他认为宇宙万物是由极细的原子构成。在中国，《庄子．天下篇》中所言的「一尺之捶，日取其半，万世不竭」，亦指零是无穷小量。这些都是最早期人类对无穷、极限等概念的原始的描述。

其他关于无穷、极限的论述，还包括芝诺（Zeno）几个著名的悖论：其中一个悖论说一个人永远都追不上一只乌龟，因为当那人追到乌龟的出发点时，乌龟已经向前爬行了一小段路，当他再追完这一小段，乌龟又已经再向前爬行了一小段路。芝诺说这样一追一赶的永远重覆下去，任何人都总追不上一只最慢的乌龟－－当然，从现代的观点看，芝诺说的实在荒谬不过；他混淆了「无限」和「无限可分」的概念。人追乌龟经过的那段路纵然无限可分，其长度却是有限的；所以人仍然可以以有限的时间，走完这一段路。然而这些荒谬的论述，开启了人类对无穷、极限等概念的探讨，对后世发展微积分有深远的历史意味。

另外值得一提的是，希腊时代的阿基米德（Archimedes）已经懂得用无穷分割的方法正确地计算一些面积，这跟现代积分的观念已经很相似。由此可见，在历史上，积分观念的形成比微分还要早－－这跟课程上往往先讨论微分再讨论积分刚好相反。

十七世纪的大发展牛顿和莱布尼茨的贡献

中世纪时期，欧洲科学发展停滞不前，人类对无穷、极限和积分等观念的想法都没有什么突破。中世纪以后，欧洲数学和科学急速发展，微积分的观念也于此时趋于成熟。在积分方面，一六一五年，开普勒（Kepler）把酒桶看作一个由无数圆薄片积累而成的物件，从而求出其体积。而伽利略（Galileo）的学生卡瓦列里（Cavalieri）即认为一条线由无穷多个点构成；一个面由无穷多条线构成；一个立体由无穷多个面构成。这些想法都是积分法的前驱。

在微分方面，十七世纪人类也有很大的突破。费马（Fermat）在一封给罗贝瓦（Roberval）的信中，提及计算函数的极大值和极小值的步骤，而这实际上已相当于现代微分学中所用，设函数导数为零，然后求出函数极点的方法。另外，巴罗（Barrow）亦已经懂得透过「微分三角形」（相当于以dx、dy、ds为边的三角形）求出切线的方程，这和现今微分学中用导数求切线的方法是一样的。由此可见，人类在十七世纪已经掌握了微分的要领。

然而，直至十七世纪中叶，人类仍然认为微分和积分是两个独立的观念。就在这个时候，牛顿和莱布尼茨将微分及积分两个貌似不相关的问题，透过「微积分基本定理」或「牛顿－莱布尼茨公式」联系起来，说明求积分基本上是求微分之逆，求微分也是求积分之逆。这是微积分理论中的基石，是微积分发展一个重要的里程碑。

设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，x及x + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不随Δx改变的常量，但A可以随x改变），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小（注：o读作奥密克戎，希腊字母）那么称函数f(x)在点x是可微的，且AΔx称作函数在点x相应于因变量增量Δy的微分，记作dy，即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。

通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数因变量的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。

当自变量X改变为X+△X时，相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X)，如果存在一个与△X无关的常数A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量，则称A·△X是f(X)在X的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。一元微积分中，可微可导等价。记A·△X=dy，则dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。

微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。

设函数y = f(x)在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为Δy = AΔx + o(Δx)，其中A是不依赖于△x的常数， o(Δx)是△x的高阶无穷小，则称函数y = f(x)在点x0是可微的。 AΔx叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：dy=AΔx。微分dy是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。得出： 当△x→0时，△y≈dy。 导数的记号为：(dy)/(dx)=f′(X)，我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值（把△x看成dx，即：定义自变量的增量等于自变量的微分），还可表示为dy=f′(X)dX。

设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲 线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δx|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

当自变量为多个时，可得出多元微分的定义。一元微分又叫常微分。

当自变量是多元变量时，导数的概念已经不适用了（尽管可以定义对某个分量的偏导数），但仍然有微分的概念。

设f是从欧几里得空间（或者任意一个内积空间）中的一个开集射到 的一个函数。对于 中的一点x及其在 中的邻域 中的点x+h。如果存在线性映射A使得对任意这样的x+h,

那么称函数f在点x处可微。线性映射A叫做f在点x处的微分，记作。

如果f在点x处可微，那么它在该点处一定连续，而且在该点的微分只有一个。为了和偏导数区别，多元函数的微分也叫做全微分或全导数。

当函数在某个区域的每一点x都有微分时，可以考虑将x映射到的函数：

这个函数一般称为微分函数。

如果f是线性映射，那么它在任意一点的微分都等于自身。

在Rn（或定义了一组标准基的内积空间）里，函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画：

设f是从Rn射到Rm的函数，f=(f1,f2,...fm)，那么：

具体来说，对于一个改变量：，微分值：

可微的必要条件：如果函数f在一点x_0处可微，那么雅克比矩阵的每一个元素都存在，但反之不真。

函数 是一个从R2射到R3的函数。它在某一点(x, y)的雅可比矩阵为：

微分为：，也就是：

我们对函数y进行微分，得出导数 ，由于微分只进行了一次，所以 又被称为一阶导数。

这时，我们微分 ，得出 ，那么 被称为二阶导数。

同理，我们可以得到三次导数及更高次的导数， （n 2）被称为n阶导数。

当自变量为固定值

需要求出曲线上一点的斜率时，前人往往采用作图法，将该点的切线画出，以切线的斜率作为该点的斜率。然而，画出来的切线是有误差的，也就是说，以作图法得到的斜率并不是完全准确的斜率。微分最早就是为了从数学上解决这一问题而产生的。

以y=x2 为例，我们需要求出该曲线在(3,9)上的斜率，当△x与△y的值越接近于0，过这两点直线的斜率就越接近所求的斜率m，当△x与△y的值变得无限接近于0时，直线的斜率就是点的斜率。

当x = 3 +Δx 时，y = 9+ Δy，也就是说，

（展开）

（两边减去9）

（两边除以△x）

∵ （m为曲线在(3,9)上的斜率， 为直线斜率）

∴

我们得出， 在点(3,9)处的斜率为6。

当自变量为任意值

在很多情况下，我们需要求出曲线上许多点的斜率，如果每一个点都按上面的方法求斜率，将会消耗大量时间，计算也容易出现误差，这里我们仍以 为例，计算图象上任意一点的斜率m。

假设该点为(x,y)，做对照的另一点为( , )，我们按上面的方法再计算一遍：

（展开）

（ ，两边减去y）

（两边除以△x）

∵

∴

我们得出，y=x2 在点(x,y)处的斜率为2x。

从二次函数到幂函数

通过以上的方法，我们可以得出x的二次函数在任意一点上的斜率，但是这远远不够。我们需要把这种方法扩充到所有的幂函数。假设有函数 ，假设函数上有一点(x,y)和另一点(x+Δx,y+Δy) ，我们可以这样计算斜率：

（二项展开式）

（ ）

（两边除以△x）

（加上极限）

（其他项均带有△x，在△x→0的情况下都可以视为等于0）

我们得出， 在点(x,y)处的斜率为 。

从幂函数到单项式

我们可以把幂函数的斜率扩展到单项式函数 的斜率，依然假设有两点(x,y)和 ：

（二项展开式）

（,两边减去y）

（两边除以△x）

（加上极限）

（其他项均带有△x，在△x→0的情况下都可以视为等于0）

我们得出， 在点(x,y)处的斜率为 。

这就是微分的基本公式，“基本法则”目录有详细的说明。

被记作dy/dx=m 。

单项式

当函数为单项式 （a和n为常数）的形式时，有基本公式：

注意：基本公式极为重要，在学习更为复杂的运算法则前请务必牢记。

多项式

当函数为几个 形式的单项式的和或差时，这个函数的导数只需在原函数的导数上进行加减即可。

以函数 为例，将其拆分为两个函数 和 ，且 。

可以得出 ， 。

y=u+v

同理可以得出

最后得出公式：

有了这两个公式，我们可以对大部分常见的初等函数求导。

注意：f'(x)是函数f(x)的导数。

（微分连锁律）

（微分乘法律）

（微分除法律）

正弦函数的导数

假设正弦函数y=sin x（x的单位为弧度）上有一点(x,y)和另一点(x+δx,y+δy)：

d/dx(sin x)

=limδx→0 δy/δx

=limδx→0 [sin (x+δx)-sin x]/δx

=limδx→0 2[cos 0.5(2x+δx)][sin 0.5(δx)]/δx （sin A-sin B=2[cos 0.5(A+B)][sin 0.5(A-B)]）

=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)][sin 0.5(δx)]/0.5δx （两边除以2）

=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)]×[sin 0.5(δx)]/0.5δx

=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)]×limδx→0 [sin 0.5(δx)]/0.5δx

=cos 0.5(2x)×1 （limθ→0 (sin θ)/θ=1）

=cos x

最后得出d/dx(sin x)=cos x。

余弦函数的导数

我们知道cos x=sin(π/2-x)，所以d/dx(cos x)=d/dx[sin (π/2-x)]。

假设π/2-x=u，我们可以用连锁律对余弦函数y=cos x求导：

d/dx(cos x)

=d/dx[sin (π/2-x)]

=d/du[sin (π/2-x)]×d/dx(π/2-x) （连锁律）

=cos (π/2-x)×(-1) （d/dx(sin x)=cos x）

=-cos (π/2-x)

=-sin x （cos (π/2-x)=sin x）

最后得出d/dx(cos x)=-sin x。

正切函数的导数

由于正切函数tan x=(sin x)/(cos x)，我们可以用除法律对其求导：

d/dx(tan x)

=d/dx[(sin x)/(cos x)] （tan x=(sin x)/(cos x)）

=[(cos x)d/dx(sin x)-(sin x)d/dx(cos x)]/(cos^2 x) （除法律）

=[cos^2 x-(sin x)(-sin x)]/cos^2 x

=(cos^2 x+sin^2 x)/cos^2 x

=1/cos^2 x

=sec^2 x

最后得出d/dx(tan x)=sec^2 x。

三角函数的应用1

当我们遇到y=sin/cos/tan u（u是自变量为x的函数且常为ax+b的形式）这类函数的时候，可以使用连锁律求导：

①y=sin u

d/dx(sin u)

=(dy/du)(du/dx) （连锁律）

=(cos u)(du/dx)

当u的形式为ax+b时，du/dx=a，所以：

d/dx[sin(ax+b)]=a[cos(ax+b)]

②y=cos

当u的形式为ax+b时，du/dx=a，所以：

d/dx[cos(ax+b)]=-a[sin(ax+b)]

③y=tan u

d/dx(tan u)

=(dy/du)(du/dx) （连锁律）

=(sec^2 u)(du/dx)

当u的形式为ax+b时，du/dx=a，所以：

d/dx[tan(ax+b)]=a[sec^2(ax+b)]

三角函数的应用2

有时我们需要对y=sin^n x或y=cos^n x（n为常数）这类函数求导，使用连锁律也可以解决：

这里我们使用“连锁律的应用1”中得到的公式：d/dx(y^n)=[ny^(n-1)](dy/dx)

①y=sin^n x

dy/dx

=n[sin^(n-1) x]d/dx(sin x)

=n[sin^(n-1) x](cos x)

②y=cos^n x

dy/dx

=n[cos^(n-1) x]d/dx(cos x)

=-n[cos^(n-1) x](sin x)

得出公式：

d/dx(sin^n x)=n[sin^(n-1) x](cos x)

d/dx(cos^n x)=-n[cos^(n-1) x](sin x)

自然指数函数的导数

在画图软件里，我们可以看出在函数y=e^x上任意一点(x,y)的斜率均等于y。也就是说，m=dy/dx=y。

因此，函数e^x的导数由以下公式获得

证明：y=e^x,

y+dy=e^(x+dx),

dy=e^(x+dx)-e^x

=e^x(e^dx-1)

=e^x(1+dx+dx^2/2!+……+dx^n/n!-1){e^a=1+a+a^n/n!（n∈N）}

≈dxe^x

∴d/dx(e^x)=e^x

自然指数函数的应用

我们可以使用连锁律对y=e^u（u是自变量为x的函数）求导：

dy/dx

=(dy/du)(du/dx) （连锁律）

=[d/du(e^u)](du/dx)

=(e^u)(du/dx)

最后得出：

d/dx(e^u)=(e^u)(du/dx)

如果u的形式为ax+b（a和b均为常数），那么du/dx=a，可以得出：

d/dx[e^(ax+b)]=ae^(ax+b)

自然对数函数的导数

我们可以通过d/dx(e^x)=e^x对自然对数函数y=ln x求导：

y=ln x

x=e^y

d/dx(x)=d/dx(e^y)

d/dx(x)=d/dy(e^y)(dy/dx) （连锁律）

d/dx(x)=(e^y)(dy/dx)

(e^y)(dy/dx)=1

x(dy/dx)=1 （x=e^y）

dy/dx=1/x

最后得出：

d/dx(ln x)=1/x

自然对数函数的应用

我们可以使用连锁律对y=ln u（u是自变量为x的函数）求导：

dy/dx

=(dy/du)(du/dx) （连锁律）

=[d/du(ln u)](du/dx)

=(1/u)(du/dx)

可以得出：

d/dx(ln u)=(1/u)(du/dx)

如果u的形式为ax+b（a和b均为常数），那么du/dx=a，可以得出：

d/dx[ln (ax+b)]=a/(ax+b)

三角函数

d/dx(sin x)=cos x

d/dx(cos x)=-sin x

d/dx(tan x)=sec^2 x

d/dx[sin(ax+b)]=a[cos(ax+b)]

d/dx[cos(ax+b)]=-a[sin(ax+b)]

d/dx[tan(ax+b)]=a[sec^2(ax+b)]

d/dx(sin^n x)=n[sin^(n-1) x](cos x)

d/dx(cos^n x)=-n[cos^(n-1) x](sin x)

自然指数函数

d/dx(e^x)=e^x

d/dx(e^u)=(e^u)(du/dx)

d/dx[e^(ax+b)]=ae^(ax+b)

自然对数函数

d/dx(ln x)=1/x

d/dx(ln u)=(1/u)(du/dx)

d/dx[ln (ax+b)]=a/(ax+b)

法线

我们知道，曲线上一点的法线和那一点的切线互相垂直，微分可以求出切线的斜率，自然也可以求出法线的斜率。

假设函数y=f(x)的图象为曲线，且曲线上有一点(x1,y1)，那么根据切线斜率的求法，就可以得出该点切线的斜率m：

m=dy/dx在(x1,y1)的值

所以该切线的方程式为：

y-y1=m(x-x1)

由于法线与切线互相垂直，法线的斜率为-1/m且它的方程式为：

y-y1=(-1/m)(x-x1)

增函数与减函数

微分是一个鉴别函数（在指定定义域内）为增函数或减函数的有效方法。

鉴别方法：dy/dx与0进行比较，dy/dx大于0时，说明dx增加为正值时，dy增加为正值，所以函数为增函数；dy/dx小于0时，说明dx增加为正值时，dy增加为负值，所以函数为减函数。

例1：分析函数y=x^2-1 的增减性

∵y=x^2-1

∴dy/dx=2x

当x>0时，dy/dx>0，所以函数y=x^2-1在x>0时是增函数；

当x<0时，dy/dx<0，所以函数y=x^2-1在x<0时是减函数。

变化的速率

微分在日常生活中的应用，就是求出非线性变化中某一时间点特定指标的变化。

比如说，有一个水箱正在加水，水箱里水的体积V（升）和时间t（秒）的关系为V=5-2/(t+1)，

在t=3时，我们想知道此时水加入的速率，于是我们算出dV/dt=2/(t+1)^2，代入t=3后得出dV/dt=1/8。

所以我们可以得出在加水开始3秒时，水箱里的水的体积以每秒1/8升的速率增加。