弦长定理是弦长积定理与弦长和定理的合称。
定律定义
弦长定理是弦长积定理与弦长和定理的合称。
弦长积定理：
弧上所有点中，弧的中点到弧两端的距离乘积最大。
弦长和定理：弧上所有点中，弧的中点到弧两端的距离之和最大。
几何表述：如图1，在⊙ 中， 为弧 的中点， 为弧 上任意一点，则有：
（弦长积定理）
（弦长和定理）
推导过程
弦长积定理
【证法一】设∠ ， ,
即 ，
则 ；
由 得 ，
∴ ，即
∴ ,
过点M作MH⊥AB于点H，
∵AM=BM，∴∠1=∠2= ，
∴ ，
即
【证法二】由证法一中 可得：
，
∴
易知当 达到最大值时， 达到最大值，
由弦长和定理可得，此时P与M重合， ，
∴ 。
弦长和定理
【证法一】同弦长积定理证法一的过程，有：
则 ，
∴ ，
其中 为定值，且 ，
即当 取最大值时， 达到最大值。
由弦长积定理可知 ，
∴当 时， 达到最大值，
此时P与M重合
即 ，
∴ 。
【证法二】如图2，延长 至点Q，使PQ=BP，连接BQ。
则 ，且∠BQP= ∠P= ∠M，
∴点Q在以M为圆心，MA为半径的圆上，
∴AQ的最大值为⊙M的直径，即 ，
∴ 。
【证法三】（以下证明过程错误，请删除！错误点：第三行“在△AB'P中，易得，即。”。因为三角形任意两边之和大于第三边，所以，即。）
如图3，过点P作直线∥AB,作点B关于直线 的对称点B',
连结B'P,AB'，则有BP=B'P。
在△AB'P中，易得，即。
易知当A,P,B'三点共线时，AP+B'P达到最大值。
如图4，当点P运动到点M时，连结OP交AB于点H，
由
垂径定理得OP⊥AB，又∥AB，∴∠2+∠3=90°。
易证∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠APB'=180°，
即A,P,B'三点共线，AP+BP达到最大值，
此时∵点P与点M重合，
∴PA+PB=MA+MB，
则
发展简史
由一道初中课后题引发的数学规律探究：原题为2016年陕西数学中考压轴题，如图5：
大多数教参所给答案均以“显然”二字敷衍而过，因此大家自发思考，进行总结归纳，不断尝试新的方法，或简或繁，但体现了大家的创造性思维。