弧度制,数学术语,指用
弧长与
半径之比度量对应
圆心角角度的方式,即|弧度|=弧长÷半径。用符号rad表示,读作
弧度。等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。由于圆弧长短与圆半径之比,不因为圆的大小而改变,所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量。角度以弧度给出时,通常不写弧度单位。弧度制的精髓就在于统一了度量弧与角的单位,从而大大简化了有关公式及运算,尤其在
高等数学中,其优点就格外明显。
在研究弧度制发展时,
三角学和角必须谈到,因为弧度制是依托它们二者存在的。依据三角学在数学研究中的地位,笔者认为三角学的发展可以分为萌芽阶段、传播阶段和确立阶段三个阶段。萌芽阶段从公元前约300年古巴比伦时期开始到公元640年希腊古代数学落幕为止,这段时期由于天文学的需要,三角学受到学者们的重视,它是天文学的一部分;传播阶段从公元640年希腊古代数学落幕后到15世纪文艺复兴开始前为止,这段时期三角学在不同地区传播,虽然其研究内容本质与萌芽阶段时相比没有区别,但它逐渐脱离天文学,成为了数学的一个分支;确立阶段是从文艺复兴开始至今,在微积分等新兴数学力量的崛起下,三角学逐渐成为了其他数学分支中的一部分,而在此期间,弧度制成为了度量
角的主要单位。
18世纪以前,人们一直是用线段的长来定义
三角函数的。弧度定义的提出,是数学家Roger Cotes在1714年提出的,作为一种对角度的描述,使得对三角函数的研究大为简化。中学数学教科书中都把radian译作“弧度”。
1881年,学者哈尔斯特(G.B.Halsted)等用希腊字母ρ表示弧度的单位。1907年,学者包尔(G.N.Bauer)用r表示;1909年,学者霍尔(A.G.Hall)等又用R来表示,例如将单位弧度(角度制1°)写成,人们习惯把弧度的单位省略。
弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位,然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角度,这一思想的雏型起源于
印度。
半圆的
弧长为π,此时的正弦值为0,记为。同理,圆周的弧长为,此时的正弦为1,记为。从而确立了用π、分别表示半圆及圆弧所对的
中心角。其它的角也可依此类推。
(一)使进位制统一。在
古巴比伦以及古希腊时期,数学家在研究
天文学问题时,普遍习惯使用60进制对角进行度量,为了进位制的统一,也用60进制度量弦长和弧长。此时,角度制满足了这种需求。而随着历史的发展,10进制取代了60进制成为了度量长度的主要进位制。为了保持进位制的统一,自然地也将角的进位制换成10进制。弧度制满足了这一需求,而且可以与角度制进行一一对应的
换算,与原有数学系统相容.这样,在查阅三角函数表时就可以看到用统一进位制表示的数,便于数与数之间的对比,提高解决问题的效率。
(二)简化微积分创立后公式的计算.弧度制大约直到18世纪才被提出来,它的提出是受到微积分等近代数学发展的推动的。在弧度制下,与三角函数有关的一些公式在形式上均比角度制下有很大的简化。正是因为这样的优越性,弧度制才逐渐被数学界普遍接受和广泛使用。