在集合论中，如果不能通过基数算术的通常操作从较小的基数中获得不可数的基数，那么他就是不可达的。更准确地说，如果基数K不可数，那么他就是强烈不可达的，它不是总和小于K，或者 。

术语“不可达基数”不是非常的明确。直到大约1950年，它一直都意味着“弱不可达基数”，但从那以后，它通常就意味着“强不可达基数”。如果它是一个正则弱基数，那么不可数的基数就是弱不可达基数。它是强不可达的，或者仅仅只是可达的，如果它是一个正则强基数（等价于上面给出的定义）。一些作者不需要弱和强可达基数可数（在这种情况下 是强不可达的）。豪斯多夫（1908）引入了弱不可达基数，谢尔宾斯基和塔斯基（1930年）和Zermelo（1930年）引入了强不可达基数。

每个强不可达基数也是弱不可达的，因为每个强极限基数也是一个弱极限基数。如果广义连续性假设成立，那么当且仅当弱不可达时，基数是强不可达的。

是一个常规的强极限基数。假设公理的选择，每个其他无穷基数是有规律的或（弱）限制的。然而，只有相当大的基数可以两者都很弱，所以弱不可达。

当且仅当它是一个正则序数，而且它是正常的数字的极限时，序数是弱不可达基数。 （零，一和 是正则序数，而不是常规的数字的极限）弱不可达基数并且也具有强极限的基数是强不可达的。

假设存在强不可达基数有时以假设可以在格罗腾迪克宇宙中工作的形式来应用，这两个想法是紧密相连的。

ZFC隐含着一个条件，只要κ是强不可达的， 就是ZFC的模型。而ZF意味着，只要κ弱不可达，Gödel宇宙 就是ZFC的一个模型。因此，ZF和“存在弱不可达基数”两个条件意味着ZFC是一致的。因此，不可达基数是大基数的一种类型。

如果V是ZFC的标准模型，并且κ在V中是不可达的，那么： 是策梅罗 - 弗兰克尔集合论的预期模型之一；而 是门德尔森的冯·诺依曼 - 伯恩斯·戈德尔集合理论的预期模型之一，排除了总体选择，通过替代和选择来取代尺寸限制；而 是莫尔斯凯利集理论的预期模型之一。这里 是X的 可定义子集。然而，为了使 成为ZF的标准模型，κ不需要是不可达的，甚至是基数，也可以参考下文。

假设V是ZFC的模型。 V中没有强不可达的，或者将κ作为V中最小的强不可达， 是ZFC的标准模型，不包含强不可达的。因此，ZFC的一致性意味着ZFC+的一致性“没有强不可达性”。类似地，V不包含弱不可达的，或者相对于V的任何标准子模型，将κ作为弱不可达的最小序数，则 是不包含弱不可达的ZFC的标准模型。所以ZFC的一致性意味着ZFC+的一致性，“没有弱不可达”。这表明ZFC不能证明不可达基数的存在，所以ZFC与不可达基数的不存在性是一致的。

ZFC是否与不可达基数的存在性是一致的这个问题更加微妙。前一段描述的证据表明，ZFC的一致性意味着ZFC+的一致性，“ZFC”中没有不可达基数“可以在ZFC中正式化。然而，假设ZFC是一致的，没有证据表明ZFC的一致性意味着ZFC+的一致性，“ZFC”中有一个不可达基数“可以被形式化。这是从戈德尔的第二个不完全定理得出的，这表明如果ZFC+“有一个不可达基数”是一致的，那么它就不能证明自己的一致性。因为ZFC+“有一个不可达基数”确实证明了ZFC的一致性，如果ZFC证明自己的一致性意味着ZFC+的一致性“有一个不可达基数”，那么后一种理论将能够证明自己的一致性，这是不可能的。

存在无法在ZFC中形式化的不可达基数的论据。Hrbacek和Jech（1999）提出的一个这样的论证是，如果有一个更大的集合理论模型扩展了M，并且集合理论的特定模型M的所有序数的类本身将是一个不可达基数。

在集合论中有许多重要的公理断定某种满足条件的类别的基数是存在的。在不可达的情况下，相应的公理指出，对于每个基数μ，存在严格大于μ<κ的不可达基数κ。因此，这个公理保证了一个不可达基数的存在（有时也被称为不可达基数公理）。如果存在任何不可达基数的情况，则不可达主要公理从ZFC的公理是无法证明的。假设ZFC，不可达基数公理等同于格罗腾迪克和维迪尔的公理：每个集合都包含在格罗腾迪克适用公理中。ZFC的公理与适用公理（或等价于不可达基数公理）被表示为ZFCU（可能与ZFC混淆）。该公理有助于证明每个类别都具有适当的米田嵌入。

术语“α-不可达基数”是比较模糊的，不同的作者使用不同的不等式定义。一种定义是，基数κ被称为α不可达，对于α任何基数，如果κ不可达，并且对于每个基数β<α，小于κ的β-不可达的集合在κ中是无界的（并且因此κ是正则的）。在这种情况下，0-不可达基数与强不可达基数是等价的。另一种定义是，如果κ是正则的，并且对于每个序数β<α，小于κ的β-弱不可达的集合在κ中是无界的，那么κ被称为α-弱不可达。在这种情况下，0-不可达基数是正则基数，1-弱不可达基数是弱不可达基数。

α-弱不可达基数也可以被描述为计数较低不可达函数的固定点。例如，用 表示第α个不可接近的基数，则 的固定点是1-弱不可达基数。那么 是第α个不可接近的基数， 的固定点是（β+ 1）-不可达基数。

术语强不可达是比较模糊的，具有至少三个不相容的含义。许多作者使用它来表示强不可达的正则极限（1-不可达基数）。其他作者使用它来表示κ是不可达的。

术语α-强不可达基数也是不明确的。一些作者使用它来表示α不可达。其他作者使用的定义是，对于任何基数α，当且仅当κ是强不可达的时候，基数κ是α-强不可达的，并且对于每个基数β<α，小于κ的β强不可达的集合在κ中是无界的。

可以用相似的方式定义超不可达基数，并且这个术语也是不明确的。

首先，当且仅当κ具有以下反射特性时，基数κ是不可达的：

对于所有子集 包含于 ，存在α<κ，使得 是 的基本子结构。 （实际上，这样的α的集合在κ中是无界的。）等价地，对于所有n≥0，κ是 -不可达的。

其次，在ZFC下，可以看出，当且仅当是二阶ZFC的模型时，κ是不可达的。

在这种情况下，通过上述反射特性，存在α<κ，使得是（一阶）ZFC的标准模型。因此，存在不可接近的基数是比ZFC的标准模型的存在更强的假设。