第一条强大数定律(strong law of large numbers)是由波莱尔在1909年对伯努利试验场合验证的，给出了几乎处处收敛的随机变量列的性质。强大数定律主要包括波莱尔强大数定律、柯尔莫哥洛夫强大数定律等。 强大数定律首先由法国数学家Borel对于伯努利随机变量的特殊情况进行证明，一般情形下的强大数定律的证明由俄国数学家柯尔莫哥洛夫(A.N.Kolmogorov)给出。

强大数定律可能是概率论中最广为人知的结果，它表明了独立同分布的随机变量序列的均值以概率1收敛到分布的均值。

定理1 [强大数定律] 设 为一独立同分布的随机变量序列，其公共均值 有限．则下式以概率1成立：

即强大数定律可以表达为下式：

作为强大数定律的一个应用，设有一独立重复试验序列，令E为某一事件．P(E)为事件E发生的概率，又令

根据强大数定律，以概率1有

因为 表示在前n次试验中事件E发生的次数，因此方程(1)说明事件E在前n次试验中发生的频率以概率1收敛到它的概率P(E)（关于定理的证明请参考相应书籍）。

可用图1来说明强大数定律。图1显示了从一个[0，1]值域内的均匀分布分别提取1，2，3，…，500个可随机变量值，计算得到的样本均值。该随机分布的期望值是0.5，随着样本数的增加，样本均值收敛于期望值。

弱大数定律表明对于足够大的值n*，随机变量 的值靠近 ，但它不能保证对于所有的 ， 仍停留在 附近，因此， 可以无限多次离开0(尽管出现较大偏离的频率不会很高)。而强大数定律能保证这种情况不会发生，特别地，强大数定律表明下式以概率1成立：对任何 ，

只能出现有限次。

定理2(波莱尔强大数定律) 设 相互独立同分布，且

其中 ，则 服从强大数定律。

在此定理中，若令 表示贝努利试验中与第k次试验相联系的随机变量、则定理说明， 成立的概率为1。也就是说( )这一事件的概率为0(当然还不能说 必然趋于p)，从而我们进一步得到了频率“稳定于”概率这一事实，它比贝努利大数定律有更强的结果。

定理3(柯尔莫哥洛夫判别法)设 为一相互独立的随机变量序列，若

则服从强大数定律。

定理4(柯尔莫哥洛夫定理) 设 为相互独立同分布的随机序列，若 ，则 服从强大数定律。

定理5 若 ，则必有 。