《律吕新书》，是由宋代蔡元定（1135一1198）所撰。传本主要有《四库全书》本、《墨海金壶》本与《经苑》本；另外，明代韩邦奇《苑洛志乐》中全载此书，并加以注释，清乾隆中罗登又撰此书《笺义》，颇利于览读与研究。

“五声”、“二变”之数，变律半声之例，则杜佑之《通典》具焉；变宫、变徵之不得为调，则孔氏之《礼》疏固亦可见；至于先求声气之元，而因律以生尺，出尤所谓卓然者，而亦班班杂见于两汉之制、蔡邕之说，与夫国朝《会要》以及程子、张子之言。由此之言，可知此书实际上出于朱、蔡师徒两人之手，故朱子独见许如此。

二卷中，一为律吕本原，共十三篇：黄钟第一，黄钟之实第二，黄钟生十一律第三，十二律之实第四，变律第五，律生五声图第六，变声第七，八十四声图第八，六十四调图第九，候气第十。审度第十一，嘉量第十二，谨权衡第十三。一为律吕征辨，凡十篇：造律第一，律长短围径之数第二，黄钟之实第三，三分损益上下相生第四，和声第五，五声大小之次第六，变宫，变徵第七，六十调第八，候气第九，度量权衡第十。

无定之说，多截竹以拟就黄钟之管，皆即以其长权为九寸，而度其围径如黄钟之法。更迭以吹，则中声可得；浅深以列，则中气可验，所以截管之法则必须本于候气。

《四库全书总目》对元定诸说多有驳难，如谓候气之说最为荒渺；以圆田术起算黄钟积实，失之太大；黄钟六变，律不与本均之声相应，而不知当用清声；二变不可以为调，而不知二变之调具足五音。纵观全书，元定对五声、黄钟之宫、黄钟之长、黄钟之积、十二律，三分损益、二变声等古乐学原理作了系统分析与阐述，间或有所失当，亦在所难免，并不可求全责备。

此书为奠定我国古代乐学理论贡献颇多，如元定倾力探讨了音律中的旋宫问题，首次提出了十八律的理论，用以解决古代十二律旋宫后的音程关系与黄钟宫调不尽相同的问题。这一理论，又被称作蔡氏律，对南宋以后乐学的发展，有很大的影响。

律吕新书一 律吕本原

（略—朱熹序—）

律吕本原

黄钟第一

（原注：以汉志斛铭文定）

长九寸，空围九分，积八百一十分。

按， 天地之数，始于一，终于十。其一三五七九为阳。九者阳之成也。其二四六八十为阴。十者阴之成也。黄钟者，阳声之始，阳气之动也。故其数九。分寸之数具于声气之元，不可得而见。及断竹为管，吹之而声和，候之而气应，而后数始形焉。均其长得九寸，审其围得九分。

（原注）

此章凡言分者皆十分寸之一。

积其实得八百一十分。长九寸，空围九分，积八百一十分，是为律之本。度量权衡，于是而受法。十一律，由是而损益焉。

（原注）

算法，置八百一十分，分作九重，每重得九分。圆田术三分益一，得一十二。以开方法除之，得三分四厘六毫强，为实俓之数，不尽二毫八丝四忽。

今求圆积之数，以径三分四厘六毫自相乘，得十一分九厘七毫一丝六忽。加以开方不尽之数二毫八丝四忽，得一十二分。以管长九十分乘之，得一千八十分，为方积之数。四分取三为圆积，得八百一十分。