总变差_数学术语 - 线报百科mbji.cn

总变差

数学术语

在数学领域总变差就是一函数其数值变化的差的总和。

定义

矢量空间

实值函数ƒ定义在区间[a,b]⊂'R的总变差是一维参数曲线x→ƒ(x) ,x∈[a,b]的弧长。连续可微函数的总变差，可由如下的积分给出

任意实值或虚值函数ƒ定义在区间[a,b]上的总变差，由

定义。其中P为区间[a,b]中的所有分划。

定义在有界区域上的实值可积函数ƒ的总变差定义为

其中是Ω中的紧支集上全体连续可微向量函数构成的集合, 是本质上确界范数。

若ƒ可微，上式可简化为

度量空间

在一个度量空间上，集函数，其总变差为：

其中为E的划分。如果是符号测度，通过汉分解定理可知：

可微定义证明

首先需要利用高斯散度定理证明一个等式。

引理

在假设条件下，下面的等式成立：

引理证明

由高斯散度定理，将代入，可得

由于在的边界上，从而

注意到代入上式，移项即得

如果函数f的总变差有限，则称函数f为有界变差函数。

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参考资料

最新修订时间：2022-08-25 14:20

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