曲线的弧长也称曲线的长度，是曲线的特征之一。不是所有的曲线都能定义长度，能够定义长度的曲线称为可求长曲线。

在研究曲线时，我们总引进弧长作为参数，一方面是由于曲线的一般参数 t 不具有任何几何意义，另一方面，因为弧长是曲线的刚体运动不变量，用弧长作参数，可大大简化公式，并较容易导出其他不变量。

设 为连续曲线(如图1)。它的端点分别为A，B，在A，B之间任取n-1个点：P1，P2，…Pn-1。为方便计，把A写成P0，把B写成Pn。它们将Γ分成n段。设各点对应的参数依次为a=t0，t1，t2，…，tn-1，tn=b。用直线段连结相邻的点，得到一折线形，它的长：

当分点无限增加时，若σn趋于一个与分点的选择无关的确定极限，则称此极限为曲线段AB的弧长。

曲线 有长度的充要条件是其坐标函数 为有界变差函数。特别，微分几何中考虑的 类曲线(k≥1)都有长度。曲线Γ在[t0，t]之间的长度可用公式：

表示。弧长称为曲线的自然参数。

在取自然参数时，曲线的方程：

此时，有 ( 表示对弧长s的导矢)，反之，若 ，则t可视为曲线从某点量起的弧长参数。

下面我们用微分元素法计算曲线的长度。

设平面曲线C的参数表示为

其中 与 连续可导，且 ，这样的称为光滑曲线，如图2.

显然这时曲线的长度L对于区间 可加．且对任意的 与小区间 相应的弧长

故由微分元素法可知曲线总长为

同样，对于空间光滑曲线

曲线总长为

若平面光滑曲线C被表达成了直角坐标形式

则C也有参数表示

故由公式(1)可知这时

例1 证明：圆 的周长是 。

证明: 由对称性可知所求周长是第一象限部分长度的4倍，在第一象限中圆的参数方程是

故由公式(1)得圆的周长

半径为R的圆中，n°的圆心角所对弧长的计算公式为