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指数积分

数学术语

在数学中，指数积分是函数的一种，它不能表示为初等函数，是特殊的不完全伽马函数之一。

指数积分的定义

n阶指数积分(Exponential Integral)为

对正整数n≥1，与之间的递推关系为

当自变量为正实数且时，函数满足如下不等式

一阶指数积分

一阶指数积分（虚数自变量）是自变量取纯虚数时的积分(即式(1)中）

该式也可以表示为如下等效形式

式中：为欧拉一马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)：

三阶指数积分

三阶指数积分（实数自变量）是自变量为正实数的指数积分(即式(1)中n=3）为

这一函数可用来计算无限片状分布声源的辐射噪声场。对所有都有效的一个近似式(基于式(3))为

对于在区间上取值的x，此近似式的最大相对误差为2%。

正弦积分函数与余弦积分函数

正弦积分函数(Sine Integral Function)与余弦积分函数(Cosine Integral Function)分别为

和

这两个函数与指数积分的关系如下

由此可得

这两个函数的渐近值为

和

指数积分与其它函数的关系

与对数积分

指数积分与对数积分的关系：；另外一个有密切关系的函数：；可以延伸到负数：；我们可以把两个函数都用整函数来表示：

此函数的性质：

；

指数积分还可以推广为：。

导数

函数与的导数有以下简单的关系：；然而，这里假设了n是整数；复数n的推广还没有在文献中报导，虽然这种推广是有可能的。

复变量的指数积分

从定义中可以看出，指数积分与三角积分之间的关系：。

参考资料

最新修订时间：2022-08-25 14:17

条目作者

概述

指数积分的定义

一阶指数积分

三阶指数积分

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