数量曲率
里奇曲率的平均
数量曲率(scalar curvature)是里奇曲率的平均。在黎曼几何中,数量曲率(或Ricci标量)是黎曼流形的最简单的曲率不变量。对于黎曼流形上的每个点,它分配由该点附近的歧管的固有几何确定的单个实数。具体来说,标量曲率表示在欧氏空间中,黎曼流形中的小测球的体积与标准球的体积的偏差量。在二维上,数量曲率是高斯曲率的两倍,并且完全表征了曲面的曲率。然而,在两个维度上,黎曼流形的曲率涉及多个功能独立的数量。
黎曼流形
一黎曼度量的微分流形.设M是n维光滑流形,若在M上给定一个光滑的二阶协变张量场g,称(M,g)为一个n维黎曼流形,g称为该黎曼流形的基本张量或黎曼度量,如果满足:
1.g是对称的,即
g(X,Y)=g(Y,X) (X,Y∈TpM,p∈M).
2.g是正定的,即
g(X,X)≥0 (X∈TpM,p∈M),
且等号仅在X=0时成立。
简单地说,黎曼流形就是给定了一个光滑的对称、正定的二阶张量场的光滑流形。
里奇曲率
里奇曲率是截面曲率的一种平均。设(M,g)是黎曼流形,Ric(·,·)是其里奇张量,对任意的非零切向量X∈TpM,若:
则称ρ(X)为黎曼流形M在切向量X所决定的方向上的里奇曲率。里奇曲率ρ(X)恰好等于包含X在内的各个二维切子空间上的截面曲率(参见“截面曲率”)的平均值.确切地说,若e1,e2,…,en-1∈TpM是与X正交的n-1个彼此正交的单位切向量,则:
其中n=dimM。
曲率张量
由联络确定的一个重要张量。设(M,)是仿射联络空间,R(X,Y)是曲率算子,其中X,Y∈Γ(TM).映射X,Y,Z→R(X,Y)Z给出了从Γ(TM)×Γ(TM)×Γ(TM)到Γ(TM)的C(M)线性映射,因此,它在每一点p∈M给出了从TpM×TpM×TpM到TpM的多线性映射,即它是一个(1,3)型张量场,称为(M,)上的曲率张量。在局部坐标系(U;x)下,记:
Rijk就是曲率张量的分量.由定义得到:
其中Γij是联络的系数。若(M,g)是黎曼流形,δ是其黎曼联络,则能够定义(M,g)上的4阶协变的曲率张量R(X,Y,Z,W)=g(R(X,Y)Z,W)。记:
(0,4)型曲率张量有下列性质:
1. R(X,Y,Z,W)=-R(Y,X,Z,W)
=-R(X,Y,W,Z).
2. R(X,Y,Z,W)=R(Z,W,X,Y).
3. R(X,Y,Z,W)+R(X,Z,W,Y)+R(X,W,Y,Z)=0.
数量曲率的概念
数量曲率(scalar curvature)是里奇曲率的平均。设(M,g)是n维黎曼流形,R(·,·,·,·)是其曲率张量,对于TpM中的单位正交基{ei},若:
则S与单位正交基{ei}的选取无关,称S为M在点p的数量曲率.数量曲率S是在点p的各个切方向上的里奇曲率的平均值,即:
若用里奇张量在局部坐标系(U;x)下的分量来表示,则:
意义
在黎曼几何中,数量曲率(或Ricci标量)是黎曼流形的最简单的曲率不变量。对于黎曼流形上的每个点,它分配由该点附近的歧管的固有几何确定的单个实数。具体来说,标量曲率表示在欧氏空间中,黎曼流形中的小测球的体积与标准球的体积的偏差量。在二维上,标量曲率是高斯曲率的两倍,并且完全表征了曲面的曲率。然而,在两个维度上,黎曼流形的曲率涉及多个功能独立的数量。
在广义相对论中,数量曲率是爱因斯坦 - 希尔伯特动作的拉格朗日密度。在量度变化下,拉格朗日的欧拉 - 拉格朗日方程组成真空爱因斯坦场方程,静态度量称为爱因斯坦度量。 n歧管的标量曲率被定义为Ricci张量的轨迹,并且其可以被定义为在某一点处的截面曲率的平均值的n(n-1)倍。
第一眼感觉,尺度至少为3的标量曲率似乎是一个微小的不变量,对歧管的全局几何形状几乎没有影响,但实际上一些深层定理显示了数量曲率的力量。一个这样的结果是Schoen,Yau和Witten的正质量定理。相关结果几乎完全了解哪些歧管具有正数量曲率的黎曼度量。
参考资料
最新修订时间:2022-08-25 13:06
目录
概述
黎曼流形
里奇曲率
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