映射定理是多仿射映射下多项式族的值集性质的重要定理。该定理是研究多仿射映射下多项式族的稳定性的重要工具之一。在泛函分析中，映射定理是一个基本的结果，它说明如果巴拿赫空间之间的连续线性算子是满射的，那么它就是一个开映射。

精确地(Rudin 1973, 定理2.11):如果X和Y是巴拿赫空间，A : X → Y是一个满射的连续线性算子，那么A就是一个开映射（也就是说，如果U是X内的开集，那么A(U)在Y内是开放的）。 该定理的证明用到了贝尔纲定理，X和Y的完备性都是十分重要的。如果仅仅假设X或Y是赋范空间，那么定理的结论就不一定成立。然而，如果X和Y是弗雷歇空间，那么定理的结论仍然成立。

开映射定理有一些重要的结果：

如果A : X → Y是巴拿赫空间X和Y之间的双射连续线性算子，那么逆算子A : Y → X也是连续的。(Rudin 1973, 推论2.12) 如果A : X → Y是巴拿赫空间X和Y之间的线性算子，且如果对于X内的每一个序列(xn)，只要xn → 0且Axn → y就有y = 0，那么A就是连续的（闭图像定理）。(Rudin 1973, 定理2.15)

我们需要证明，如果A : X → Y是巴拿赫空间之间的连续线性满射，那么A就是一个开映射。为此，只需证明A把X内的单位球映射到Y的原点的一个邻域。

设U，V分别为X和Y内的单位球。那么X是单位球的倍数k U的序列的交集，k ∈ N，且由于A是满射，

根据贝尔纲定理，巴拿赫空间Y不能是可数个无处稠密集的并集，故存在k > 0，使得A(kU)的闭包具有非空的内部。因此，存在一个开球B(c, r)，其中心为c，半径r > 0，包含在A(kU)的闭包内。如果v ∈ V，那么c + r v和c位于B(c, r)内，因此是A(k U)的极限点，根据加法的连续性，它们的差rv是A(k U) − A(k U) ⊂ A(2k U)的极限点。根据A的线性，这意味着任何v ∈ V都位于A(δ  U)的闭包内，其中δ = r / (2k)。于是可以推出，对于任何y ∈ Y和任何ε > 0，都存在某个x ∈ X，满足：

固定y ∈ δ V。根据(1)，存在某个x 1，满足||x 1|| < 1且||y − A x 1|| < δ / 2。定义序列{xn}如下。假设：

根据(1)，我们可以选择x n +1，使得：

因此x n +1满足(2)。设

从(2)的第一个不等式可知，{sn}是一个柯西序列，且由于X是完备的，sn收敛于某个x ∈ X。根据(2)，序列A sn趋于y，因此根据A的连续性，有A x = y。而且：

这表明每一个y ∈ δ V都属于A(2 U)，或等价地，X内的单位球的像A(U)包含了Y内的开球(δ / 2) V。因此，A(U)是Y内0的邻域，定理得证。

X 或Y 的局部凸性不是十分重要的，但完备性则是：当X和Y是F空间时，定理仍然成立。更进一步，这个定理可以用以下的方法与贝尔纲定理结合(Rudin, 定理2.11)：

设X为F空间，Y为拓扑向量空间。如果A : X → Y是一个连续线性算子，那么要么A(X)是Y内的贫集，要么A(X) = Y。在后一个情况中，A是开映射，Y也是F空间。 更进一步，在这个情况中，如果N是A的核，那么A有一个标准分解。

黎曼流形之间的一类十分重要的可微映射。设M和N为黎曼流形，f：M→N为光滑映射，若f的张力场τ(f)恒为零，则称f为调和映射.由第一变分公式可知：调和映射是能量泛函的临界点;反之，若f是能量泛函在每一个紧致区域DM上关于保持边界D不动的变分的临界点，则f必是调和映射.另一方面，若将df看做M上取值于诱导丛fTN的1形式，这里TN是N的切丛，则可以证明：当f为调和映射时，df为调和1形式;且当M为紧致流形时，其逆亦真.因此，调和映射与非线性调和1形式理论有密切关系.调和映射有许多重要的特例，因而具有广阔的背景.例如：

1.当N=R时，调和映射就是M上的调和函数.

2.当dim M=1时，调和映射就是N中的测地线.

3.当f为等距浸入时，f是调和映射的充分必要条件为f是极小浸入.

4.克勒流形间的全纯映射必为调和映射.

5.具有双不变黎曼度量的李群间的连续同态必为调和映射.