贝尔纲定理断言：完备的度量空间必是第二纲集。贝尔纲定理是
区间套定理的发展与提高，在证明许多存在定理时是很有用的。
（BCT1）每一个
完备度量空间都是贝尔空间。更一般地，每一个
同胚于某个
完备伪度量空间的
开子集的拓扑空间都是贝尔空间。因此每一个完备可度量化的拓扑空间都是贝尔空间。（BCT2）每一个局部紧
豪斯多夫空间都是贝尔空间。其证明类似于前一个陈述；有限交集性质取得了完备性扮演的角色。
注意从以上任何一个命题都不能推出另一个，因为存在一个不是局部紧的
完备度量空间（带有定义如下的度量的
无理数），也存在一个不
可度量化的局部紧
豪斯多夫空间（不可数福特空间）。参见以下文献中的Steen and Seebach。
BCT1和BCT2的证明需要
选择公理的某种形式；实际上，BCT1与选择公理的一个较弱的版本——相依选择公理等价。
BCT1也表明每一个没有
孤立点的
完备度量空间都是不可数的。（如果X是一个可数的完备度量空间且没有孤立点，那么在X中每一个
单元素集合都是无处稠密的，因此X在它本身内是第一纲）。特别地，这证明了所有
实数所组成的集合是不可数的。
实数空间R；无理数，其度量定义为d(x, y) = 1 / (n + 1)，其中n是使x和y的
连分数展开式不同的第一个指标（这是一个完备度量空间）；
康托尔集。